三角形問題中添加特殊輔助線的途徑分析

常愛國（福州市日升中學(xué)，福建福州350000）

三角形問題中添加特殊輔助線的途徑分析

常愛國
（福州市日升中學(xué)，福建福州350000）

三角形是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，對三角形問題中添加特殊輔助線的一些途徑（相似三角形法、延長線段法、特殊角法）進行細(xì)致分析，可以為學(xué)生在證明與計算某些幾何圖形問題時提供正確的數(shù)學(xué)思維方法。

初中數(shù)學(xué)；三角形；輔助線；解題

平面幾何作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重點與難點，對培養(yǎng)學(xué)生思維能力與創(chuàng)新能力有重要作用。在新課程標(biāo)準(zhǔn)背景下，教師必須基于先進教學(xué)理念的指導(dǎo)下，結(jié)合幾何知識點的教學(xué)特點以及學(xué)生的實際能力、學(xué)習(xí)需求，采用靈活多樣的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生滿懷興致的進行幾何學(xué)習(xí)。在幾何教學(xué)中，許多三角形問題需要添加特殊輔助線才能求解，對三角形問題中添加特殊輔助線的一些途徑（相似三角形法、延長線段法、特殊角法）進行細(xì)致分析，可以為學(xué)生在證明與計算某些幾何圖形問題時提供正確的數(shù)學(xué)思維方法。

一、相似三角形法

例1.等腰三角形△ABC（如圖1所示），頂角為20°，底邊以及一腰長分別為b、a，則判斷如下等式中可成立的是（）。

A.a3+b3=3a2b；B.a3+b3=3ab；C.a3+b3=3ab2；D.a3+b3=3a2b2。

在求解該問題時，根據(jù)已知條件，AB段以及BC段長度均為a，BC段長度為b，且B= 20°。為判斷所給出等式是否成立，可引導(dǎo)學(xué)生把握題目特點，通過引入輔助線的方式得到相似三角形，然后嘗試借助于相似三角形性質(zhì)建立三角形邊之間的關(guān)系，最后得出正確答案。繪制輔助線AD段后形成兩個相似三角形△ABC以及△ADC（如圖2所示）。

圖1

在輔助線繪制好后不難發(fā)現(xiàn)，兩個相似三角形△ABC以及△ADC具有△ABC～△ADC的關(guān)系，則根據(jù)相似三角形對應(yīng)關(guān)系可以作出如下推斷：

圖2

DC/AC=AC/BC→DC=AC2/BC=b2/a；同時，∵BA=BC，且∠B=20°，∴∠BAC=80°，∠BAD=∠BAC-∠CAD=80°-20°=60°。

而在△ADB中，BD2=a2+b2-2abcos∠BAD，故可轉(zhuǎn)換為（a-b2/a）2=a2+b2-2abcos∠BAD，經(jīng)簡化處理后可得到等式為a2+b2=3a2b。故選項A為正確答案。

分析認(rèn)為：本題求解過程中通過添加輔助線的方式可構(gòu)建與已知三角形相類似三角形，然后利用相似三角形的性質(zhì)建立邊與邊之間的關(guān)系。通過繪制輔助線的方式，能夠使解題思路更加清晰與簡明，同時還引入了有關(guān)相似三角形判定以及性質(zhì)的知識點，使學(xué)生在解題過程中能夠加深知識之間的聯(lián)系，簡化解題步驟，提高解題效率。

二、延長線段法

在一些三角形特征比較模糊的題目中，通過常規(guī)的連接兩點的方法難以理順題目中的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生往往難以把握解題的思路與方法，導(dǎo)致最終得出錯誤的結(jié)果。在遇到這些例題時，可以根據(jù)三角形相關(guān)題目的特點，選擇延長線段的方法構(gòu)建新的圖形，以引出全新的數(shù)量關(guān)系，從而為學(xué)生對三角形相關(guān)問題的求解提供新的思路與途徑。

例2.三角形△ABC中AD為已知中線（如圖3所示），要求驗證：AB+AC＞2AD。

圖3

學(xué)生通過對三角形相關(guān)知識點的學(xué)習(xí)，在教師引導(dǎo)下可以整理得到證明三角形邊大小關(guān)系的思路，第一種思路是應(yīng)用“兩點之間線段最短”的基本原理；第二種思路是應(yīng)用“三角形任意兩邊之和恒大于第三邊”的基本原理。為給出驗證三角形ABC中AB+AC＞2AD規(guī)律，教師可引導(dǎo)學(xué)生做出推論，即如果將其歸入一個三角形內(nèi)，邊的大小關(guān)系是顯然的。因此，需要通過轉(zhuǎn)移線段的方式加以證實。在對已知三角形進行進行延長時，通常所采取的是構(gòu)建全等三角形的方案。

在添加輔助線時，可以將AD段延長至E點，令A(yù)D=DE，并將CE點連接。通過添加輔助線的方式可以構(gòu)建起△ABC以及△ECD兩個主要三角形（如圖4所示）。在添加好輔助線后，對AB+AC＞2AD的驗證步驟可以總結(jié)為：

圖4

在△ABC以及△ECD中，已知AD=DE，∠ADB=∠EDC；同時又有BD=CD，故△ABD≌△ECD，且有AB=CE。

在此基礎(chǔ)之上，利用“三角形任意兩邊之和恒大于第三邊”的基本原理，對于△ACE而言，有AC+CE＞AE的恒定關(guān)系，故經(jīng)過轉(zhuǎn)換可得AC+AB＞AE=2AD，進而可求證得到：AB+AC＞2AD。

分析認(rèn)為：在三角形中，任意兩邊之和恒大于第三邊這一基本的原理是證明三角形各邊大小關(guān)系的重要方法。當(dāng)通過常規(guī)的連接兩點或作出現(xiàn)的方法難以理順題目中的數(shù)量關(guān)系時，可以根據(jù)題目已知條件中所給出的中線進行成倍延長，以構(gòu)造全等邊三角形，從而使解題思路更加順暢，解題步驟更加簡化。

三、特殊角法

在針對一些存在難度的三角形求解題目中，為進一步理順學(xué)生的解題思路，可結(jié)合題目的實際特點以及所需要考察的內(nèi)容，通過添加三角形輔助線的方式進一步挖掘題目已知條件中所蘊含的條件，使題目中各個條件之間不明顯的關(guān)系得到充分展現(xiàn)。同時，添加輔助線還可以使條件得到合理轉(zhuǎn)換，為學(xué)生的求解提供更加多樣化的思路。

例3.已知某鈍角三角形△ABC（如下圖5所示）內(nèi)角度數(shù)呈等差序列分布，且最大邊邊長與最小邊邊長比值為m，要求m取值范圍為（）。

A.m∈（1，2）；B.m∈［2，+∞）；C.m∈［3，+∞）；D.m∈（3，+∞）。

圖5

結(jié)合圖1已知鈍角三角形△ABC，BC段邊長＞AC段邊長＞AB段邊長，同時，可假定鈍角三角形△ABC內(nèi)BAC角度為a，ABC角度為b，ACB角度為c。同時已知條件中提示：“鈍角三角形△ABC內(nèi)角度數(shù)呈等差序列分布”，即可得到關(guān)系為a-b=b-c。由此可以計算得到b=60°。a取值范圍則為90°＜a＜120°，c取值范圍則為0°＜c＜30°。過該△ABC作角BAD使其與角b相等，均為60°（如下圖6所示）。

圖6

根據(jù)圖6則有c＜30°∠CAD，故可以計算得到m＞2，進而可選擇得到正確答案。

分析認(rèn)為：在對三角形問題的求解過程中，通過作輔助線的方式構(gòu)成特殊角度，然后可根據(jù)題目所給出的已知關(guān)系與數(shù)據(jù)，確定角的大小關(guān)系。進而根據(jù)邊角關(guān)系計算得到m的取值范圍，給出正確答案。

四、結(jié)語

在平面幾何教學(xué)中，三角形問題是教學(xué)的重點，學(xué)生掌握了三角形添加輔助線的方法與技巧，可靈活借助輔助線使用正確的思維方法解決許多問題。

［1］彭勝軍.三角形全等證明題中常用輔助線的幾種作法［J］.初中生輔導(dǎo)，2012（16）.

［2］來林芳.移動重疊構(gòu)造全等——已知線段相等的一種輔助線添法探究［J］.新課程（中旬），2015（2）.

［3］吳建忠.例析不完整平行線型相似三角形中輔助線的添設(shè)［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)，2012（5）.

（責(zé)任編輯：王欽敏）