在變與不變中理解“倍”的實(shí)質(zhì)

應(yīng)秀峰

[摘 要]“倍”概念的認(rèn)識(shí)，是一個(gè)操作中的理解和理解中的操作、表述中的理解和理解中的表述的過(guò)程，是一個(gè)變化中有不變、不變中有共變的過(guò)程，是一個(gè)幫助學(xué)生逐漸抽象、領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)的過(guò)程。學(xué)生正是在不斷地對(duì)比與抽象中把握了“倍”的概念，理解了“倍”的實(shí)質(zhì)。

[關(guān)鍵詞]變與不變 幾何直觀 函數(shù)思想 核心素養(yǎng) 倍

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2016）23-030

“倍的認(rèn)識(shí)”是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的一節(jié)概念課。數(shù)學(xué)概念的“倍”是兩數(shù)比較的一種關(guān)系，是在比較多少的數(shù)量關(guān)系認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上的一次飛躍。學(xué)生在生活中接觸“倍”的機(jī)會(huì)很少，認(rèn)識(shí)“倍”的渠道也很狹窄，缺少“倍”的準(zhǔn)確表象，而“倍”的概念又相對(duì)比較抽象，再加上學(xué)生容易受兩數(shù)相差關(guān)系的干擾，其教學(xué)難度之大顯而易見(jiàn)。課堂教學(xué)中，以哪種操作素材和什么樣的操作要求引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)呢？以什么樣的變式學(xué)習(xí)拓展學(xué)生的思維寬度呢？以什么樣的方式使抽象的概念直觀化、形象化、簡(jiǎn)約化，適合學(xué)生的學(xué)習(xí)呢？這些問(wèn)題的有效解決，將是教學(xué)“倍”的重點(diǎn)和難點(diǎn)。基于函數(shù)思想的理解，“倍”表示兩個(gè)集合之間相對(duì)應(yīng)的關(guān)系——一個(gè)和多個(gè)的關(guān)系，體現(xiàn)函數(shù)中“共變”現(xiàn)象與“變中有不變”的思想方法。因此，要理解“倍”的實(shí)質(zhì)，就要研究“倍”的“共變”現(xiàn)象和“變中有不變”的思想。

一、用“變與不變”的觀點(diǎn)解讀教材內(nèi)容，架構(gòu)“倍”的框架

橫向比較人教版和蘇教版數(shù)學(xué)教材中有關(guān)“倍”的內(nèi)容編排，發(fā)現(xiàn)共同之處都是在學(xué)習(xí)乘法之后認(rèn)識(shí)“倍”，例題呈現(xiàn)的都是幾倍（如3倍、4倍、5倍等）的內(nèi)容，不僅創(chuàng)設(shè)了“小兔吃蘿卜”“小朋友數(shù)花”等情境，而且提出了三種物品在數(shù)量上有什么關(guān)系的問(wèn)題，把學(xué)生的思考引向兩個(gè)數(shù)量之間的比較，并順學(xué)而導(dǎo)，抽象出用除法解決“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”的問(wèn)題?？v向比較2002版數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)和2013版義務(wù)教育教科書(shū)的蘇教版數(shù)學(xué)教材，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)版本教材的主題圖相似。如2013版數(shù)學(xué)教材增加了“你能比一比這三種花的朵數(shù)嗎”的內(nèi)容，從兩數(shù)相差關(guān)系引入，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)兩數(shù)的倍比關(guān)系，便于學(xué)生把“倍”的認(rèn)識(shí)放在兩個(gè)數(shù)量關(guān)系的整體知識(shí)體系中，完善自身的結(jié)構(gòu)性知識(shí)；增加了“紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍？先圈一圈，再填一填”的內(nèi)容，使學(xué)生明確圈、填的操作指向；增加了“藍(lán)花有2朵”的內(nèi)容，使學(xué)生對(duì)“倍”的語(yǔ)言表述更加嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確。

對(duì)人教版和蘇教版兩個(gè)版本教材的橫向比較及數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)與蘇教版教材的縱向比較之后，為了讓學(xué)生能從源頭上感受“倍”的意義，我設(shè)計(jì)了以下的三大框架：標(biāo)準(zhǔn)量不變，比較量變化，引起倍數(shù)的變化；比較量不變，標(biāo)準(zhǔn)量變化，引起倍數(shù)的變化；倍數(shù)不變，標(biāo)準(zhǔn)量和比較量的“共變”現(xiàn)象。

二、在學(xué)情調(diào)研中了解“倍”的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，醞釀“倍”的教學(xué)設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的學(xué)情調(diào)研單，同時(shí)提出以下兩個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題：（1）聽(tīng)說(shuō)過(guò)“倍”嗎？如果你沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)“倍”，請(qǐng)?jiān)冢?）里打“√”；如果你聽(tīng)說(shuō)過(guò)“倍”，那知道“倍”是什么意思嗎？請(qǐng)列舉一個(gè)或多個(gè)例子。（2）關(guān)于“倍”，你想了解什么？請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)。

對(duì)兩個(gè)班級(jí)共87名學(xué)生進(jìn)行書(shū)面調(diào)研，發(fā)現(xiàn)83.9%的學(xué)生沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)“倍”，16.1%的學(xué)生能用舉例來(lái)表達(dá)“倍”的意思，其中正確的有11.5%，錯(cuò)誤的有4.6%。分析錯(cuò)因，學(xué)生有的把“倍”與“比多比少”混淆在一起。如出示，提出“2朵黃花是2朵藍(lán)花的幾倍”的問(wèn)題，有3個(gè)學(xué)生的回答是“0倍”，還有一個(gè)學(xué)生說(shuō)不清楚。調(diào)研中還發(fā)現(xiàn)，學(xué)生最想了解以下問(wèn)題：“倍”是什么？（46人，占52.9%）“倍”有什么作用？（10人，占11.5%）什么時(shí)候可以用“倍”？（8人，占9.2%）“倍”是怎么來(lái)的？（4人，占4.6%）

從學(xué)情調(diào)查中可以看出，學(xué)生對(duì)“倍”的概念接觸較少，幾乎沒(méi)有任何經(jīng)歷和體驗(yàn)，再加上“倍”的概念比較抽象，所以“倍”的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生而言難度較大。但從第（2）個(gè)問(wèn)題去看，學(xué)生對(duì)“倍”了解的越少，也就越想揭開(kāi)“倍”的神秘面紗，探究的欲望更強(qiáng)烈。那么，如何將“倍”的學(xué)習(xí)變成學(xué)生看得見(jiàn)、摸得著、能理解的數(shù)學(xué)事實(shí)呢？如何精選不同的學(xué)習(xí)素材，讓學(xué)生通過(guò)有效的操作、思考、辨析，在變與不變之中理解“倍”的實(shí)質(zhì)？

三、在操作素材的甄選與變更中提高操作時(shí)效，理解“倍”的內(nèi)涵

1.操作素材的甄選

選擇怎樣的學(xué)習(xí)素材更符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)？“倍”的教學(xué)經(jīng)歷數(shù)次變化，前幾次都是尊重蘇教版教材的編排，采用例題中的情境，用多媒體動(dòng)畫(huà)呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生在圈圈、填填、算算中學(xué)習(xí)“倍”，但是學(xué)生的語(yǔ)言表述是生硬的，對(duì)“倍”的理解也比較淺顯?？梢?jiàn)，這樣的學(xué)習(xí)僅是表面上的理解。后幾次的教學(xué)，讓學(xué)生用小棒操作，以三根小棒為一份擺一擺，學(xué)生多樣化的操作（如下圖）令人眼前一亮，如有擺成三角形的，有三根小棒緊挨著擺的，也有將小棒分開(kāi)排列的。

這里把三根小棒看作一份，學(xué)生會(huì)很自然地想到一個(gè)整體，也從心理上認(rèn)同為一份，并能自主形成一份的表象，然后建立兩份、三份的表象，最后在學(xué)生的腦海里形成兩倍、三倍的直觀模型。正是基于學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，我才把學(xué)習(xí)素材改成小棒，并在學(xué)生建立“倍”的直觀形象后，進(jìn)一步展示彩帶、線段、櫻桃、草莓、圓片等多種素材，促使學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)落在兩個(gè)量的比較上，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的過(guò)程，幫助學(xué)生理解和感悟什么是“倍”。

2.操作層次的遞進(jìn)

有了操作素材的比較、確定后，在操作層次上遵循由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的規(guī)律，層層深入，環(huán)環(huán)緊扣，引導(dǎo)學(xué)生逐步建構(gòu)“倍”的表象，逐漸抽象出“倍”的概念，理解“倍”的內(nèi)涵，把握“倍”的實(shí)質(zhì)。

第一層次：標(biāo)準(zhǔn)量不變，比較量變化，引起倍數(shù)的變化。

（1）如圖④，師生共同擺小棒，喚醒1份的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)1倍。

（2）如圖⑤，扶放結(jié)合擺小棒，喚醒2份的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)2倍。

（3）如圖⑥，根據(jù)要求擺小棒，喚醒3份的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)3倍。

第二層次：比較量不變，標(biāo)準(zhǔn)量變化，引起倍數(shù)的變化。

第三層次：倍數(shù)不變，標(biāo)準(zhǔn)量和比較量的“共變”現(xiàn)象。

在不同擺法中，凸顯“倍”的實(shí)質(zhì)，使學(xué)生深刻感悟：雖然學(xué)具、操作、想象等不同，但實(shí)質(zhì)上是相同的，即一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍，就有這樣的2份。簡(jiǎn)單的表述，是學(xué)生對(duì)“倍”的自主理解。

（1）（ ）是（ ）的2倍。

（2）（ ）是（ ）的（ ）倍。

這樣教學(xué)，既調(diào)動(dòng)了學(xué)生思考的積極性，給予學(xué)生開(kāi)放性的探究時(shí)空，又激活了學(xué)生的思維，滿足了學(xué)生個(gè)性化的學(xué)習(xí)需求。

四、在“乘法倍”與“除法倍”中尋找結(jié)合焦點(diǎn)，溝通“倍”的聯(lián)系

“乘法倍”和“除法倍”是側(cè)重于“幾個(gè)幾”與“幾倍”的關(guān)系，還是偏向于“份”和“倍”的關(guān)系？“乘法倍”和“除法倍”的分類不重要，重要的是“倍”的實(shí)質(zhì)與內(nèi)涵，強(qiáng)調(diào)的是概念意義的系統(tǒng)建構(gòu)，關(guān)鍵是要溝通“倍”與乘除法之間的聯(lián)系。在這里，“倍”與除法的關(guān)系為“平均分中的每一份同樣多，有幾份，就有這樣的幾倍”，“倍”與乘法的關(guān)系為“有幾個(gè)相同的加數(shù)，就有這樣的幾倍”。這里面有共同的一點(diǎn)，即1份量是唯一的，在“倍”中1份量都是同樣多的。在“倍”與乘除法的聯(lián)系上，讓學(xué)生對(duì)“倍”的意義進(jìn)行列舉、闡述，不管學(xué)生的表述是否規(guī)范或非常簡(jiǎn)略，只要是學(xué)生基于自己理解上的表述和表述中的理解即可，至于是“乘法倍”還是“除法倍”就不是那么重要了。

五、在“1倍”和“多倍”的認(rèn)識(shí)中調(diào)整學(xué)習(xí)順序，凸顯“倍”的實(shí)質(zhì)

“倍”就是兩個(gè)量之間比較，如果同樣多就是1倍；一個(gè)量中也有“倍”，每個(gè)量都是其本身的1倍。體會(huì)“倍”最重要的前提，就是1份量的唯一性。在學(xué)情調(diào)研及和學(xué)生的訪談中，我都出示圖，提出了“2朵黃花是2朵藍(lán)花的幾倍”的問(wèn)題，有3個(gè)學(xué)生的回答是“0倍”；在學(xué)習(xí)3倍、4倍的認(rèn)識(shí)后，當(dāng)出現(xiàn)上圖時(shí)，還有學(xué)生出現(xiàn)“0倍”的答案。這是為什么呢？“0倍”背后是學(xué)生從比多比少的方面去理解，同樣多之后才說(shuō)是“0倍”，他們理解的“倍”是多出來(lái)的部分。而在學(xué)情調(diào)研中，出現(xiàn)錯(cuò)誤的學(xué)生對(duì)“倍”的理解就是多出來(lái)的部分。這不由得引起我們教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容編排順序的思考，對(duì)“倍”的實(shí)質(zhì)的思考。“倍”深層次上是“份”的另一種說(shuō)法（顧亞龍語(yǔ)），即把“倍”分為1倍和多倍去認(rèn)識(shí)。1倍：有1份，就是1倍，包括兩個(gè)數(shù)量同樣多和只有一個(gè)數(shù)量的情況；當(dāng)兩個(gè)量同樣多時(shí)，下面的量是上面量的1倍，上面的量也是下面量的1倍；當(dāng)一個(gè)量時(shí)，自己就是自己的1倍。多倍：找準(zhǔn)1份量，有幾份，就是幾倍。這樣的認(rèn)識(shí)，能很好地規(guī)避學(xué)生對(duì)“倍是多出來(lái)的部分”的錯(cuò)誤理解，從一開(kāi)始就把學(xué)生的思維引向正確，從而更有利于把學(xué)生的思維引向深入。

總之，“倍”概念的認(rèn)識(shí)，是一個(gè)操作中的理解和理解中的操作、表述中的理解和理解中的表述的過(guò)程，是一個(gè)變化中有不變、不變中有共變的過(guò)程，是一個(gè)幫助學(xué)生逐漸抽象、領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)的過(guò)程。學(xué)生正是在不斷地對(duì)比與抽象中把握了“倍”的概念，理解了“倍”的實(shí)質(zhì)。

（責(zé)編 藍(lán) 天）