淺談分式的約分與通分

羅成群（貴州省甕安縣中坪中學(xué)）

淺談分式的約分與通分

羅成群
（貴州省甕安縣中坪中學(xué)）

分式的約分與通分是人教版八年級(jí)下冊(cè)第十六章——16.1.2分式的基本性質(zhì)的后繼學(xué)習(xí)內(nèi)容。分式的約分與通分是學(xué)習(xí)分式運(yùn)算的奠基石，也是學(xué)習(xí)解分式方程的基礎(chǔ)。但這一知識(shí)點(diǎn)教科書講解得簡(jiǎn)略，許多學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)都感到困難，為了幫助學(xué)生學(xué)習(xí)這一知識(shí)點(diǎn)以及加深學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，我對(duì)分式的約分與通分作如下解析：

一、分式的約分

1.理解分式約分的定義

與分?jǐn)?shù)的約分類似，利用分式的基本性質(zhì)，約去分式的分子和分母的公因式，不改變分式的值，像這樣的分式變形叫做分式的約分。如分式約去分子和分母的公因式2x2y2，使化為就叫把分式約分。

分式的分子和分母都含有的因式叫做分子和分母的公因式。例如，分式，其中2x2y2叫做分式的分子和分母的公因式。

注意：

①分式的約分，一般要約去分子和分母所有的公因式，使所得結(jié)果成為最簡(jiǎn)分式或整式（單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式）。

②分式約分的關(guān)鍵是確定分式的分子與分母的公因式。

③公因式的系數(shù)是分子與分母的系數(shù)的最大公約數(shù)；公因式的因式是分子與分母都含有的因式的最低次冪。

④分式約分的目的是把復(fù)雜的分式化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

2.約分的方法和步驟

當(dāng)分式的分子與分母都是單項(xiàng)式時(shí)，先找出分子與分母的公因式，然后約去分子與分母的公因式。

例如，約分：

二、分式的通分

1.理解分式通分的定義

與分?jǐn)?shù)的通分類似，利用分式的基本性質(zhì)，使分式的分子和分母同乘以適當(dāng)?shù)恼剑桓淖兎质降闹?，把異分母的分式化成分母相同的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分。如把和化成分母相同的分式就叫把分式和通分，18a2b叫做分式和的最簡(jiǎn)公分母。

注意：

①分式通分的關(guān)鍵是確定各分式的最簡(jiǎn)公分母。

②分式通分的目的是把異分母的分式化成同分母的分式。

2.確定最簡(jiǎn)公分母的一般步驟

①最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)是各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)。

②最簡(jiǎn)公分母的因式是各分母所有因式的最高次冪（相同的因式取次數(shù)最高的一個(gè)）。

3.分式通分的一般步驟

①當(dāng)各分式的分母都是單項(xiàng)式時(shí)，首先確定各分式的最簡(jiǎn)公分母，再利用分式的基本性質(zhì)，把分式的分子與分母同乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，使各分式的分母化成最?jiǎn)公分母。

解：最簡(jiǎn)公分母是36a2b；

②當(dāng)各分式的分母是多項(xiàng)式時(shí)，分式的分母能分解因式的一定要先分解因式，再確定各分式的最簡(jiǎn)公分母，再利用分式的基本性質(zhì)，把每個(gè)分式的分子與分母乘以同一個(gè)適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，使各分式的分母化成最?jiǎn)公分母。

例如，通分

∴最簡(jiǎn)公分母是（x+2）（x-2）.

三、分式的約分與通分的聯(lián)系與區(qū)別

1.聯(lián)系

分式的約分與通分根據(jù)都是分式的基本性質(zhì)。

2.區(qū)別

分式的約分是把分式的分子和分母都同除以一個(gè)不為零的整式，使分式的值不變，把復(fù)雜的分式化成最簡(jiǎn)分式；分式的通分是把分式的分子與分母都同乘以一個(gè)不為零的整式，使分式的值不變，把簡(jiǎn)單的分式化成復(fù)雜的分式。

四、分式約分與通分的焦點(diǎn)與難點(diǎn)：對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解

1.對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的一般步驟：一提二套三分組

也就是說(shuō)：對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式的，一定要先提公因式，再看分解所得的因式還能不能套用公式（因式分解的平方差公式、完全平方公式等）進(jìn)行因式分解，如果能，請(qǐng)繼續(xù)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，直到每個(gè)因式都不能再分解因式為止；如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)沒有公因式，那么嘗試用公式來(lái)分解因式；如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒有公因式，也不能套用公式進(jìn)行因式分解，那么可以嘗試用分組分解法進(jìn)行因式分解。

例如，分解因式

（1）2mn-6m2n+4mn2；（2）x3y-2x2y2+xy3；（3）a2-1+2ab+b2

解：（1）2mn-6m2n+4mn2=2mn·1-2mn·3m+2mn·2n=2mn（1-3m+ 2n）

（2）x3y-2x2y2+xy3=xy·x2-xy·2xy+xy·y2=xy（x2-2xy+y2）=xy（x+y）2

（3）a2-1+2ab+b2=（a2+2ab+b2）-1=（a+b）2-1=（a+b+1）（a+b-1）

2.靈活運(yùn)用公式法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的方法

（1）運(yùn)用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式滿足的條件：①只有二項(xiàng)，且二項(xiàng)的符號(hào)一正一負(fù)；②是兩個(gè)整式的平方差。例如，-x2+y2=（y+x）（y-x）；9a2-16b2=（3a+4b）（3a-4b）

（2）能用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式的特點(diǎn)：有三項(xiàng)，其中有二項(xiàng)是兩個(gè)整式的平方且符號(hào)相同，另一項(xiàng)是這兩個(gè)整式的積的二倍，符號(hào)可正可負(fù)。例如，-4a2+12ab-9b2=-（2a-3b）2；25m2+ 20mn+4n2=（5m+2n）2

·編輯魯翠紅