非線性振動系統(tǒng)非共振振動自同步特性*

李　葉 ，　耿志遠，　李　鶴 ，　魏小鵬，　聞邦椿

(1.東北大學機械工程與自動化學院　沈陽，110819) (2.中國科學院沈陽自動化研究所　沈陽，110016)

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非線性振動系統(tǒng)非共振振動自同步特性*

李葉1，耿志遠2，李鶴1，魏小鵬1，聞邦椿1

(1.東北大學機械工程與自動化學院沈陽，110819) (2.中國科學院沈陽自動化研究所沈陽，110016)

摘要從理論計算、數(shù)值仿真和實驗驗證三個方面研究一類平面單質(zhì)體非線性振動系統(tǒng)在非共振工作時的振動同步特性。首先，以反向回轉(zhuǎn)雙電機驅(qū)動的振動系統(tǒng)為研究對象，考慮其彈性元件的非線性因素，采用拉格朗日法建立其動力學模型；其次，基于Hamilton原理求出系統(tǒng)實現(xiàn)自同步的條件，利用一次近似判別法求出系統(tǒng)穩(wěn)定同步運行的條件；然后，基于Matlab/Simulink軟件，采用4階龍格庫塔法進行數(shù)值仿真，對理論推導的自同步條件及穩(wěn)定性條件進行計算；最后，對一單質(zhì)體振動樣機進行實驗測試。仿真結(jié)果表明，該非線性振動系統(tǒng)可以實現(xiàn)穩(wěn)定的0相位自同步運動。通過理論計算結(jié)果、仿真結(jié)果以及實驗結(jié)果的相互對比，驗證該非線性振動系統(tǒng)同步特性理論的準確性。

關(guān)鍵詞非線性； 非共振； 振動系統(tǒng)； 振動同步； 同步穩(wěn)定性

引言

近年來，許多國內(nèi)學者對自同步振動機械系統(tǒng)的機電耦合特性進行了大量的研究，得到了許多關(guān)鍵性的成果。文獻[1-3]建立了電機系統(tǒng)和振動機械系統(tǒng)的機電耦合數(shù)學模型，從機電耦合的角度定量再現(xiàn)了系統(tǒng)的機電耦合同步機理。侯勇俊等[4]采用Matlab/Simulink對三電機驅(qū)動自同步振動系統(tǒng)的機電耦合機理進行了數(shù)值仿真。由于振動系統(tǒng)中多電機驅(qū)動源的振動同步常常與系統(tǒng)的非線性特性聯(lián)系在一起，很多學者開始從非線性特性分析角度研究系統(tǒng)的同步性能。劉極峰等[5]通過振動同步性試驗研究了非線性空間雙質(zhì)體振動烘干機在振動阻尼條件下實現(xiàn)振動同步應(yīng)滿足的條件。郭虎倫[6]研究了非線性因素條件下相位差角與振幅的關(guān)系，討論了相位差角的變化對于同步效率的影響，進一步分析了系統(tǒng)中的非線性現(xiàn)象。陳會征[7]依據(jù)振動篩分設(shè)備的發(fā)展特點，在振動篩及自同步系統(tǒng)的研究基礎(chǔ)上，將非線性共振篩結(jié)構(gòu)與自同步原理結(jié)合，研究了超大型高效節(jié)能篩多點激勵的穩(wěn)定性。李小號[8]應(yīng)用平均法對含有分段線性彈性元件的非線性振動系統(tǒng)的銳共振振動同步與控制同步進行了研究。Balthazar等[9]通過數(shù)值仿真的方法研究了安裝在非線性架上的多個非理想激振器的自同步問題。

基于前人的研究，筆者以一類非線性振動系統(tǒng)為對象，基于拉格朗日方程建立該系統(tǒng)的動力學方程；運用Hamilton原理推導出該系統(tǒng)實現(xiàn)自同步的條件；采用非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性一次近似判別法求出振動系統(tǒng)在平衡點處的漸進穩(wěn)定條件。以某單質(zhì)體振動同步樣機為例，基于其實際結(jié)構(gòu)參數(shù)進行數(shù)值仿真。最后，對該振動樣機進行自同步實驗。將理論計算、仿真與實驗結(jié)果進行對比，驗證自同步理論的合理性。

1非線性振動系統(tǒng)自同步理論計算

1.1非線性振動系統(tǒng)動力學方程

圖1為由兩反向旋轉(zhuǎn)的電機驅(qū)動的非線性振動系統(tǒng)的平面力學模型，由振動質(zhì)體及兩偏心轉(zhuǎn)子組成。振動質(zhì)體在水平和豎直方向分別通過彈簧A和B與固定支架相聯(lián)。考慮彈簧的硬特性非線性，即剛度隨變形增加而增大，其特性曲線如圖2所示，其彈性力表達式為

F=kx+k′x3

(1)

其中：F為彈性力；k，k′均為彈簧剛度系數(shù)，可由實驗曲線求出；x為彈簧壓縮量。

圖1　非線性振動系統(tǒng)的力學模型Fig.1　The mechanical model of nonlinear vibration system

圖2　彈簧彈性特性曲線Fig.2　The stiffness property curve of spring

兩偏心轉(zhuǎn)子安裝在振動質(zhì)體上方左右兩側(cè)，分別由感應(yīng)電機1,2驅(qū)動。旋轉(zhuǎn)中心o1和o2關(guān)于質(zhì)體質(zhì)心所在豎直軸對稱。電機旋轉(zhuǎn)時，偏心塊產(chǎn)生激振力，帶動質(zhì)體發(fā)生水平、豎直方向的振動以及擺動。

選擇質(zhì)體運動坐標x，y，ψ及兩轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)相位φ1和φ2為廣義坐標，求出系統(tǒng)的動能、勢能和耗散能函數(shù)，代入拉格朗日方程得系統(tǒng)的運動方程式

(2)

根據(jù)驅(qū)動電機的機械特性[10]，電磁轉(zhuǎn)矩Te與轉(zhuǎn)速n的關(guān)系，即電機的輸出電磁轉(zhuǎn)矩數(shù)學模型為

(3)

1.2兩偏心轉(zhuǎn)子的自同步條件

設(shè)振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行時兩偏心轉(zhuǎn)子的平均相位為φ，且φ=ωt，ω為兩電機的平均角速度；設(shè)偏心轉(zhuǎn)子1超前于偏心轉(zhuǎn)子2的相位為2α，則偏心轉(zhuǎn)子1和2的相位分別表示為

(4)

(5)

對于式(5)，由漸進法可求得振動系統(tǒng)非共振狀態(tài)下各向的一次近似穩(wěn)態(tài)解為

(6)

其中：各向振動幅值及滯后角為

(7)

其中：kex，key和keψ為各向等效剛度系數(shù)，即

拉格朗日函數(shù)為

(9)

在一個振動周期內(nèi)，哈密頓作用量可表示為

(10)

(11)

其中

(12)

根據(jù)Hamilton原理，即系統(tǒng)哈密頓作用量的變分與作用在系統(tǒng)上的非有勢力所作用的虛功在一個周期內(nèi)的積分和為零，表示為

(13)

其中：qi為廣義坐標；Fi為廣義力。

(14)

將式(11),(12),(14)代入到式(13)中，可求得

sin2α=TD/TC

(15)

(16)

可得雙機驅(qū)動反向旋轉(zhuǎn)平面單質(zhì)體非線性振動系統(tǒng)自同步實現(xiàn)的條件，即兩電機的頻率俘獲力矩的絕對值大于或等于兩電機剩余電磁轉(zhuǎn)矩差的絕對值。

當|TD/TC|≤1，2α滿足以下兩個區(qū)間：a. 當0≤TD/TC≤1時，相位差2α在[0,π]區(qū)間; b. 當-1≤TD/TC<0時，相位差2α在[-π,0)區(qū)間。

1.3兩偏心轉(zhuǎn)子的自同步穩(wěn)定性條件

設(shè)fd1=fd2，則式(2)后兩式，即兩偏心塊的運動方程可化為

(17)

(18)

其中

(19)

根據(jù)式(18)求出系統(tǒng)對應(yīng)的平衡點方程[8]為

(20)

由式(20)得，當

(21)

時，可求系統(tǒng)平衡點(arcsinΔTe/T′, 0)。由該平衡點及式(18)可知，當系統(tǒng)在該點穩(wěn)定時，系統(tǒng)可出現(xiàn)零角速度差的同步運轉(zhuǎn)。對式(18)平衡點處進行相平面奇點分析，取式(18)的特征方程為

(22)

解得其特征根為

li=

其中：i=1,2。

由非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的一次近似判別法，當所有特征根均具有負實部時系統(tǒng)穩(wěn)定，則只需

T′cose1>0

(23)

時，系統(tǒng)在相平面上具有漸進穩(wěn)定焦點，即(arcsinΔTe/T′,0)，則式(23)為系統(tǒng)振動同步運行在平衡點處的漸進穩(wěn)定條件。

2數(shù)值仿真

基于振動系統(tǒng)的動力學方程式(2)以及電機的電磁轉(zhuǎn)矩模型式(3)，采用Matlab/Simulink對系統(tǒng)進行數(shù)值仿真，采用的計算方法為4階龍格庫塔法，步長為0.01 s，仿真時長為60 s。振動系統(tǒng)及電機的主要參數(shù)如表1所示。圖3為振動系統(tǒng)各參數(shù)仿真結(jié)果。

由圖3看出，在整個啟動過程中兩電機一直處于同步狀態(tài)。兩激振電機最終以990.6 r/min的轉(zhuǎn)速穩(wěn)定運行，實現(xiàn)了速度同步；整個過程中兩電機的相位差恒為0，實現(xiàn)了相位同步。振動系統(tǒng)僅有豎直方向位移的變化，在系統(tǒng)啟動5 s后表現(xiàn)為振幅約為2.605 mm的周期運動，其水平方向和扭擺均產(chǎn)生微小振動，與豎直方向位移相比可忽略為0。

表1電機及振動系統(tǒng)參數(shù)

Tab.1The parameters of motors and vibration system

參數(shù)/單位數(shù)值異步電機飛輪轉(zhuǎn)動慣量J0/(kg·m2)0.062電機過載倍數(shù)KT2電機額定功率PN/kW0.040電機額定轉(zhuǎn)速nN/(r·min-1)900電機電網(wǎng)轉(zhuǎn)速ns/(r·min-1)1000電機軸摩擦阻力矩系數(shù)fdi/(N·(rad·s-1)-1)0.010振動系統(tǒng)總質(zhì)量M/kg38.640偏心轉(zhuǎn)子質(zhì)量m/kg3.880振動系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量J/(kg·m2)1.288偏心轉(zhuǎn)子等效偏心距r/m0.013水平方向剛度系數(shù)kx/(N·m-1)24000豎直方向剛度系數(shù)ky/(N·m-1)40000水平方向非線性剛度系數(shù)k'x/(N·m-3)4844311豎直方向非線性剛度系數(shù)k'y/(N·m-3)8073852水平和豎直方向阻尼系數(shù)fx,fy/(N·(m·s-1)-1)200彈簧A可動點與y軸的距離lyA/m0.225彈簧A可動點與質(zhì)體質(zhì)心水平線的距離lxA/m0.005轉(zhuǎn)子中心至質(zhì)體質(zhì)心距離l0/m0.172轉(zhuǎn)子與質(zhì)心連線與x向夾角β/(°)30

圖3　系統(tǒng)的各參數(shù)仿真結(jié)果Fig.3　The simulation results of each parameter of system

將計算的電機轉(zhuǎn)速代入到式(7)、(12)、(15)和(19)中，計算結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯?，由于兩電機參數(shù)相同，整個過程中電機的剩余電磁轉(zhuǎn)矩差TD始終為0，頻率俘獲力矩TC約為-0.68 N·m；相位差角2α為0；水平振動、豎直振動以及擺動的振幅ax，ay，aψ分別為0，2.826，0 mm。系統(tǒng)的穩(wěn)定性系數(shù)T′為0.679 N·m，則T′cos2α>0，滿足穩(wěn)定性條件。圖4(g)為系統(tǒng)的相軌跡，可以看出系統(tǒng)在零相位差、零角度差處具有穩(wěn)定焦點。綜上可知，計算結(jié)果與仿真結(jié)果基本一致，證明了自同步理論推導的準確性。

3實驗驗證

振動自同步實驗樣機如圖5所示。樣機包括兩臺MVE100/1型號三相異步振動電機(即激振器)、振動質(zhì)體以及ROSTA-AB15型號彈性振動支撐，其彈性特性為非線性硬特性。實驗中信號的采集和分析均用B&K振動測試分析系統(tǒng)，如圖6所示。當兩電機實現(xiàn)自同步后，所得振動系統(tǒng)各參數(shù)結(jié)果如圖7所示。

由圖7看出，同步時兩電機轉(zhuǎn)速達到990 r/min，達到了速度同步；偏心塊的相位差角度穩(wěn)定在約為0.023°，達到了相位同步；振動系統(tǒng)x方向、y方向以及ψ方向的振動在系統(tǒng)啟動一段時間后都表現(xiàn)為周期運動。其中，x方向和ψ方向的振動幅度分別約為0.1 mm和0.004 rad，在實際工程中數(shù)值很小，均可忽略不計；y方向的振幅約為3 mm。

圖4　系統(tǒng)各參數(shù)理論計算結(jié)果Fig.4　The theoretic calculated results of each parameter

圖5　自同步振動實驗樣機Fig.5　Self-synchronization vibration test prot-otype

圖6　B&K振動測試分析系統(tǒng)Fig.6　B&K vibration tes-ting and analyzing system

圖7　系統(tǒng)各參數(shù)實驗結(jié)果Fig.7　Experimental results of each parameter of system

綜上可見，實驗樣機在實現(xiàn)自同步時各實驗結(jié)果與理論計算、數(shù)值仿真結(jié)果存在很小誤差，這主要是由于振動機自身及外界因素對實驗結(jié)果具有一定影響，在工程中可以忽略不計。因此，在一定程度上驗證了仿真結(jié)果的準確性和有效性。

4結(jié)論

2) 當T′cose1>0時，系統(tǒng)在相平面上具有漸進穩(wěn)定焦點，且該點即為非線性振動系統(tǒng)平衡點(arcsinΔTe/T′,0)。

3) 采用Matlab/Simulink軟件，運用4階龍格庫塔法對振動系統(tǒng)進行了數(shù)值仿真。由仿真結(jié)果可以看出，振動系統(tǒng)在達到穩(wěn)定狀態(tài)時可以實現(xiàn)0相位的自同步運動。當系統(tǒng)完全對稱，兩偏心轉(zhuǎn)子反向回轉(zhuǎn)時，振動系統(tǒng)只產(chǎn)生豎直方向的振動。將仿真結(jié)果與理論計算結(jié)果對比可以看出，各參數(shù)值基本一致，驗證了理論推導的準確性。

4) 對一單質(zhì)體非線性振動樣機進行了自同步實驗。由實驗結(jié)果與仿真結(jié)果對比可以看出，系統(tǒng)實現(xiàn)自同步時各參數(shù)數(shù)值誤差較小，實驗結(jié)果合理，在一定程度上驗證了理論計算與數(shù)值仿真的準確性和有效性。

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E-mail：neuyezi_2007@126.com

doi:10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.02.014

收稿日期：2014-03-05；修回日期：2014-07-17

中圖分類號TH113.1

第一作者簡介：李葉，女，1988年8月生，博士生。主要研究方向為機械系統(tǒng)動力學，非線性振動。曾發(fā)表《平面單質(zhì)體非線性振動系統(tǒng)的自同步運動》(《東北大學學報：自然科學版》2014年第35卷第6期)等論文

*國家自然科學基金資助項目(51375080)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目(N130803301)；遼寧省科技創(chuàng)新重大專項計劃(201506003)；遼寧重大裝備制造協(xié)同創(chuàng)新中心資助項目