高招、自招、競賽中的裂項相消法

時英雄

在高中階段的學習中，我們經常會遇到一些求和問題，這些求和問題，根據(jù)式子的特征都有很多解決的辦法，裂項相消法就是其中一種，其實質是將求和式子中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.它是分解與組合思想在求和中的具體應用.是最常見，最好用，也是最難掌握的方法.筆者就在高招、自主招生、及競賽中遇到的問題來談談裂項相消法的形成思路、解題技法、出題規(guī)律，以饗讀者.1等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式的裂項法推導

例1已知數(shù)列{an}是公差為d（d≠0），首項為a1的等差數(shù)列，求其前n項和Sn.

解析an=12d（anan+1-an-1an），令a0=a1-d，則

Sn=12d[（anan+1-an-1an）+（an-1an-an-2an-1）+…+（a1a2-a0a1）]

=12d（anan+1-a0a1）=12d[（a1+（n-1）d）（a1+nd）-（a1-d）a1]=na1+n（n-1）2d.

例2已知數(shù)列{an}是公比為q（q≠1），首項為a1的等比數(shù)列，求其前n項和Sn.

解析qn=1q-1（qn+1-qn），則

Sn=a1+a2+…+an=a1（1+q+q2+…+qn-1）=a1+a1（q+q2+…+qn-1）

=a1+a1q-1（q2-q+q3-q2+…+qn-qn-1）=a1+a1q-1（qn-q）=a1（qn-1）q-1.

評注等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式在教學的過程中一般來說分別是用倒序相加法、錯位相減法進行處理，這里給出兩個公式的裂項求和方法，旨在讓學生體會就是對通項的分解組合的思維的把握，只要是能將通項或求和的式子寫成連續(xù)的項或有間隔的項的差就可以了，我們還可以將其推廣到“差比型”數(shù)列的求和，如：

例3（2013年高考山東卷理科第20題）設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（1）求數(shù)列{an}的通項公式.

（2）設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，且Tn+an+12n=λ（λ為常數(shù)）.令cn=b2n（n∈N*），

求數(shù)列{cn}的前n項和Rn.

解析（1）略，an=2n-1，n∈N*.

（2）由題意知：Tn=λ-n2n-1，所以，當n≥2時，bn=Tn-Tn-1=n-22n-1，

故cn=b2n=2n-222n-1=（n-1）（14）n-1，n∈N*，所以，令f（n）=（rn+s）（14）n，cn=f（n）-f（n-1）因為c1=0，c2=14故r=-43，s=-49，

Rn=c1+c2+…+cn=f（n）-f（0）=（-43n-49）（14）n-（-49）=19（4-3n+14n-1）.

本題的解法基于對于“差比型”數(shù)列通項與前n項和形式上的認識：即都是一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，且指數(shù)部分與原來一樣，可令f（n）-f（n-1）=（an+b）qn（n∈N*），

f（n）=（rn+s）qn（r，s為待定系數(shù)）可以通過特殊值求出r，s，進而采用裂項的方法求解.2 三角函數(shù)中的裂項求和

例4已知an=tan（3n-1）tan（3n+2），求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

解析tan[（3n+2）-（3n-1）]=tan（3n+2）-tan（3n-1）1+tan（3n+2）tan（3n-1）=tan3，

所以an=1tan3[tan（3n+2）-tan（3n-1）]-1，

所以Sn=a1+a2+…+an=1tan3[tan（3n+2）-tan2]-n.

例5證明：對任一自然數(shù)n及任意實數(shù)x≠mπ2k（k=0，1，2，…，n，m∈Z），有

1sin2x+1sin4x+…+1sin2nx=1tanx-1tan2nx.

解析1sin2x=2cos2x-cos2xsin2x=2cos2x2sinxcosx-cos2xsin2x=1tanx-1tan2x，

同理：1sin4x=1tan2x-1tan4x，…，1sin2nx=1tan2n-1x-1tan2nx，

累加得：1sin2x+1sin4x+…+1sin2nx=1tanx-1tan2nx.

評注對于三角變換中的裂項求和問題，主要是找到正弦、余弦、正切之間的聯(lián)系，及和角，差角，倍角，半角，切割化弦等公式中的差值關系，適當變形達到裂項的效果，一些常見的結論也需記憶如：

已知數(shù)列{an}是公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，則

（1）bn=kcosancosan+1=ksind（tanan+1-tanan）；

（2）bn=ksinansinan+1=ksind（1tanan-1tanan+1）.3 無理式、階乘中的裂項求和

例6（2006年上海交大）已知ak=k+2k！+（k+1）！+（k+2）！，則數(shù)列{an}的前100項和為.解析ak=1（k+1）！-1（k+2）！，S100=a1+a2+…+a100=102！-2！2×102！.

例7（2007年上海交大）1·1！+2·2！+3·3！+…+n·n！=.

解析n·n！=（n+1）！-n！，

原式=2！-1！+3！-2！+…+（n+1）！-n！=（n+1）！-1.

例8（2008年上海交大）數(shù)列{an}的通項公式為an=1nn+1+（n+1）n，則這個數(shù)列的前99項和為.解析an=1n-1n+1，

S99=a1+a2+…+a99=11-12+12-13+…+199-1100=1-110=910.

評注對于此類的問題主要是要對無理式進行分母或分子有理化，構造差值形式，對階乘及組合數(shù)，排列數(shù)中的差值關系也需要了解并能給予證明，又如：

例9（2003年復旦）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，其中an=1（n-1+n）（n-1+n+1）（n+n+1），求S2003.

解析2an=2（n-1+n）（n-1+n+1）（n+n+1）=n+1-n-1（n-1+n）（n+n+1），

所以an=12（1n-1+n-1n+n+1），Sn=12（1-1n+1+n）=12（1-n+1+n），

所以S2003=12（1-2004+2003）.

技巧掌握關于裂項的問題，技巧性很強，學生要有很好的知識儲備，掌握一些變換技巧，比如常見的裂項形式如：

（1）an=An2+Bn+Cqn+1型裂項，如：an=n2+n-22n+1=（n+1）（n+2）2n-（n+2）（n+3）2n+1

（2）an=1an2+bn+c型裂項，其中a≠0，Δ=b2-4ac=k2a2（k∈N*）如：

an=14n2+8n+3=14·1（n+1）2-14=14·（1n+1-12-1n+1+12）=14·（1n+12-1n+32）

.（3）an+1=1ka2n+an型裂項，如：an+1=a2n+an=an（an+1），則1an+1=1an-1an+1，

所以有1an+1=1an-1an+1.

追根溯源裂項求和問題對學生來說最重要的是要能從面目全非的式子中提煉命題人使用的母題，例如：已知an=（n+1）3-n3，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.此問題比較簡單，但是如果命題人將an化簡后得到an=3n2+3n+1后讓大家求和，難度明顯加大了，很多類似的難題都是這樣改編過來，比如我們想構造出兩組裂項求和的題目，我們可以構建出這樣的數(shù)列通項：

an=4（1n+2-1n+4）+8（1n+3-1n+4）這個數(shù)列求和分組后裂項就可以了，但是我們在生成題目的時候可以將其化簡后的形式給出，即變?yōu)閍n=8（2n+5）（n+2）（n+3）（n+4），難度明顯提升，又如我們設想an=（2n+1）3-（2n-1）32然后將其化簡整理變形得：an=（2n+1-2n-1）[（2n+1）2+2n+12n-1+（2n-1）2]2=4n+4n2-12n+1+2n-1，此時，如果不能揣摩出命題人的意圖，或是找到原先未變形的形式，很難解決問題，當然，如果想要降低難度，可以在題目的設置中用特殊形式給出，給學生一定的提示，考查其類比，總結歸納能力.

結束語裂項求和問題的解決主要取決于學生的知識儲備及靈活應用能力，善于總結歸納，才能跳出題海.總結歸納的題型越全面，解題時的思路就會越清晰，當然，如果能達到“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層”的境界能揣摩出命題人的命題原型，遇到此類問題解起來就會更得心應手.