《離散型隨機變量及其分布列》教學實錄及點評

蘇洪普　王文清

【摘要】

本教學設(shè)計是按照““自主學習與創(chuàng)新意識培養(yǎng)”數(shù)學課堂教學模式”的環(huán)節(jié)和思想設(shè)計的，從學生熟悉的、簡單的“隨機試驗”展開，從學生的“最近發(fā)展區(qū)”開始，以隱含的“函數(shù)關(guān)系”為主線，設(shè)置了一系列具有簡潔性、針對性、探究性、開放性、思維價值高的“問題串”.引領(lǐng)學生自主構(gòu)建“離散型隨機變量”、“離散型隨機變量的分布列”等概念，建立“兩點分布”模型.激發(fā)學生學習興趣的同時，鍛煉提升了學生的數(shù)學思維品質(zhì)，取得了很好的課堂教學效果.

【關(guān)鍵詞】離散型隨機變量；隨機變量；分布列；兩點分布

這是我市在今年3月份全市高中基礎(chǔ)年級數(shù)學教學研討會上，針對人民教育出版社A版《數(shù)學》（選修23）第二章21《離散型隨機變量及其分布列》所做的同課異構(gòu)中的其中一節(jié).現(xiàn)將其課堂教學實錄及點評呈現(xiàn)給大家，敬請批評指正！1教學目標與重點、難點

1.1教學目標：

（1）通過對具體實例的分析、歸納，會將隨機試驗的結(jié)果“數(shù)量化”，體會引入隨機變量的必要性.

（2）經(jīng)歷隨機變量的概念和離散型隨機變量的分布列的構(gòu)建過程，通過歸納、抽象、類比，感受映射與函數(shù)在生活中的應用，并從函數(shù)角度理解離散型隨機變量及其分布列的概念，培養(yǎng)學生的歸納概括能力、抽象思維能力和創(chuàng)新意識.

（3）通過“兩點分布”的建模過程，體會類比、函數(shù)和轉(zhuǎn)化等思想，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)其辯證唯物主義世界觀.

1.2教學重點、難點

重點：隨機變量及離散型隨機變量的分布列的概念.

難點：從映射的角度理解隨機變量的概念，從函數(shù)角度理解離散型隨機變量的分布列.2教學過程實錄

2.1設(shè)計問題，創(chuàng)設(shè)情境

師：在《數(shù)學》（必修三）中我們已經(jīng)學習了概率的一些基礎(chǔ)知識，請大家看下面的問題：

問題1請說出下列每個隨機試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果.

（1）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣；

（2）某籃球運動員罰球1次；

（3）從含有4件次品的10件產(chǎn)品中，隨機抽取1件產(chǎn)品.

生1：（1）正面向上，反面向上；（2）罰進，沒有罰進；（2）取出正品，取出次品.

教師把學生回答結(jié)果用多媒體展示（圖1）

師：這些隨機試驗有什么共同特征？

生：每個隨機試驗都有兩個試驗結(jié)果.

師：你還能列舉一些生活中類似的隨機試驗嗎？

生2：買彩票，是否中獎；從四選一的選擇題中隨機選一個選項，是否正確；……

師：很好！是的，我們生活中大量存在“是與非”、“對與錯”、“成功與失敗”的隨機試驗.是不是可以建立一個統(tǒng)一的概率模型來刻畫這些隨機事件呢？這就需要我們學習一些新的概率知識，也就是“第二章隨機變量及其分布列”（板書）.在本章中，我們將在已學過的概率知識的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探究、分析、描述某些隨機現(xiàn)象，并構(gòu)建概率模型，解決一些簡單的實際問題，進一步體會概率模型的作用及運用概率思想思考和解決問題的能力.

點評立足學生思維的起點，注重在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)設(shè)置問題.便于學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出問題.而且，問題1（2）的設(shè)計便于學生將試驗結(jié)果“數(shù)量化”.這里的“低起點”為本節(jié)課學生的高參與度奠定了基礎(chǔ).同時，也為后面深刻探究、理解隨機變量的概念節(jié)省出時間和空間.將試驗結(jié)果用圖示法直觀表示，為后面深刻探究試驗結(jié)果與隨機變量的對應關(guān)系埋下了伏筆.

問題2怎樣將這些隨機試驗的共同特征從數(shù)學角度來描述呢？

生3：對于“罰球一次”這個隨機試驗，可以用“0”和“1”這兩個數(shù)字刻畫這些隨機試驗的結(jié)果.

師：很好！把隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，為用數(shù)學工具研究隨機現(xiàn)象奠定基礎(chǔ).那么其它兩個隨機試驗呢？

生4：規(guī)定“正面向上”用1表示，“反面向上”用0表示；“取出正品”用1表示，“取出次品”用0表示.

教師用多媒體展示試驗結(jié)果與兩個數(shù)字之間的對應關(guān)系（圖2）.

問題3寫出下列每個隨機試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果，將結(jié)果用相應的數(shù)字表示，并用圖示法表達出來.

（1）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子；

（2）從含有4件次品的10件產(chǎn)品中，隨機抽取3件產(chǎn)品.

2.2信息交流，揭示規(guī)律

展示生5的解答（圖3）.

師：這位同學的解答是否正確？你的解答也是這樣嗎？

生6：對于（2）我的解答是這樣的.

師：兩位同學的解答都是正確的，可是隨機試驗的結(jié)果和數(shù)字都是一樣的，但是其表示（對應關(guān)系）卻并不相同，為什么？

生7：上面的兩種表示中，雖然都用了相同的數(shù)字，但是這些數(shù)字的實際含義是不同的.前者表示“抽取的3件產(chǎn)品中的次品數(shù)”，后者表示“抽取的3件產(chǎn)品中的正品數(shù)”.所以就出現(xiàn)了不同的表示（對應關(guān)系）.

師：很好！我們一旦確定了一個對應關(guān)系，使得每一個試驗結(jié)果都用一個確定的數(shù)字表示.在這個對應關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗結(jié)果的變化而變化.

像這種隨著試驗結(jié)果的變化而變化的變量稱為隨機變量.隨機變量常用字母X，Y，ξ，η，…表示.（板書）

師：請同學們在你的圖示上標注上相應的對應關(guān)系.

展示學生完善的情況，并予以糾正（圖5）.

點評在課堂教學中，合理地運用學生出現(xiàn)的不完善的解法，甚至錯誤解法，通過展示，讓學生辨析、交流、討論，實質(zhì)上是抓住了概念構(gòu)建中的一個非常重要的“生長點”.使得學生對隨機變量的概念有了一個主動辨別、探究、構(gòu)建的過程，把本節(jié)課的重點、難點“拋”給了學生，通過有效的信息交流，使學生對隨機變量有了更深刻的認識，真正把課堂“還”給了學生.這就要求我們教師在平時的課堂教學中，有意識的去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造這種機會——讓學生出現(xiàn)“美麗的錯誤”.

問題4設(shè)集合A={隨機試驗的結(jié)果}，集合B={隨機變量的取值}.那么，集合A與集合B之間有什么關(guān)系呢？

生（眾）：映射（一一對應）.

師：既然它們之間的關(guān)系是映射關(guān)系，那么隨機變量的取值由哪些因素確定呢？

生（眾）：隨機試驗結(jié)果和對應關(guān)系.

師：在這些問題中，對應關(guān)系是誰呢？

生（眾）：隨機變量在具體問題中的含義.

師：隨機變量的取值集合類似于函數(shù)中的什么？

生：值域.

問題5如果在問題3的第（2）題中，我們關(guān)心正品數(shù)與次品數(shù)的差，你能給出這個隨機變量的所有可能的取值嗎？

生8：用ξ表示取出的3件產(chǎn)品中正品數(shù)與次品數(shù)的差，則ξ的所有可能取值為3，1，-1，-3.

師：很好！那么在本題中ξ=1表示什么事件（含義）呢？

生：ξ=1表示事件“2件正品，1件次品”.

師：引入隨機變量后，我們可以將事件“2件正品，1件次品”用{ξ=1}簡潔的表示.那么“{ξ<0}”在本題中表示什么事件（含義）呢？

生9：表示{ξ=-1}∪{ξ=-3}；或者說，表示“正品數(shù)小于次品數(shù)”.

點評發(fā)現(xiàn)了映射（一一對應）關(guān)系，并將隨機變量取值問題有效的遷移，體現(xiàn)了類比在教學中的重要作用.以問題驅(qū)動學生的思維，進一步加深學生對隨機變量概念的理解.另外，也為學生在實際操作中，如何快速、準確地確定隨機變量的取值，指明了方法，那就是通過試驗結(jié)果（集合A）與隨機變量的含義（對應關(guān)系）確定隨機變量的取值.

2.3運用規(guī)律，解決問題

問題6請寫出下列隨機試驗中，各隨機變量的所有可能的取值.

（1）籃球比賽中每次罰球命中得1分，不中得0分.某籃球運動員罰球2次的得分X；

（2）一袋中有大小相同的4個小球，分別標有1，2，3，4，先從中隨機摸出一球，記下標號后放回，再摸出一球，則兩球的標號之和Y；

（3）某射手向目標連續(xù)射擊，直到擊中目標時的射擊次數(shù)ξ

（4）隨機抽取一只電燈泡，這只電燈泡的壽命η.

生10：（1）X的可能取值為0，1，2；

（2）Y的可能取值為2，3，4，5，6，7，8.

（3）ξ的可能取值為1，2，3，…，n，…；

（4）η的取值為任意非負實數(shù).

師：像（1）、（2）、（3）中，這種所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量；（4）中的隨機變量η的可能取值是任何一個非負實數(shù)，而所有的非負實數(shù)不能一一列出，所以η不是離散型隨機變量，實為連續(xù)型隨機變量.

師：對于（4）中電燈泡的壽命問題，我們關(guān)注η取某個確定值的情形嗎？

生：不！應該關(guān)注η在某個范圍內(nèi)的取值情況.

問題7如果規(guī)定：壽命不小于1500小時的燈泡為一等品；壽命不小于1000小時，且小于1500小時的燈泡為二等品；壽命在1000小時以下的為不合格品.如果我們關(guān)心燈泡的等次，如何定義隨機變量呢？如果我們關(guān)心燈泡是否為合格品如何定義隨機變量呢？

生10：用Y表示燈泡的等次，則可定義

Y=0，η<1000，

2，1000≤η<1500，

1，η≥1500.

用Z表示燈泡是否為合格品.則可定義

Z=0，η<1000，

1，η≥1000.

點評通過練習，在鞏固隨機變量的概念的同時，又創(chuàng)設(shè)出新的問題情境（如問題6（3）），培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識.這樣設(shè)計又使得整個教學環(huán)節(jié)緊緊相扣，提高了課堂效率.通過變式訓練（問題7）溝通了“連續(xù)”與“離散”，體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，同時培養(yǎng)了學生辯證唯物主義世界觀.

2.4變練演編，深化提高

師：現(xiàn)在隨機試驗的結(jié)果能用離散型隨機變量來表示了，對于隨機事件我們最關(guān)心的是它發(fā)生的可能性有多大——即概率.請看下面的問題：

問題8拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，用X表示正面向上的點數(shù).那么，X的所有可能取值有哪些？當X值確定時，對應事件的概率值確定嗎？為什么？

生11：X的所有可能的取值為1，2，3，4，5，6.當X值確定時，對應事件的概率是確定的，因為隨機變量取每一個值對應的隨機事件（或者試驗結(jié)果）是確定的.

問題9一般地，如果將隨機變量X的取值集合看作集合A，相應的概率的取值看作集合B，那么兩個集合之間有什么關(guān)系呢？

生12：函數(shù)關(guān)系.

師：如何表示函數(shù)關(guān)系呢？

生：列表法；圖像法；解析式法.

師：請分別用這三種方法表示問題8中的函數(shù)關(guān)系.

生13：（1）列表法：

（3）解析式法：即P（x=i）=1[]6（i=1，2，3，4，5，6）.

問題10根據(jù)上面的函數(shù)關(guān)系，求下列隨機事件發(fā)生的概率：

（1）向上的點數(shù)為奇數(shù)的概率；

（2）向上的點數(shù)大于4的概率.

生14：（1）“向上的點數(shù)為奇數(shù)”可以用{X為奇數(shù)}={X=1}∪{X=3}∪{X=5}表示.又因為{X=1}，{X=3}，{X=5}這三個事件彼此互斥.由概率的可加性得

P（“奇數(shù)點”）=P（X為奇數(shù)）=P（X=1）+P（X=3）+P（X=5）=16+16+16=12.

故“向上的點數(shù)為奇數(shù)”發(fā)生的概率為12；

（2）類似可得，“向上的點數(shù)大于4”的概率為13.

問題11事件{X=1}，{X=3}，{X=5}為什么互斥呢？

生15：這還是由于隨機試驗的結(jié)果構(gòu)成的集合與隨機變量取值構(gòu)成的集合之間的映射關(guān)系決定的.

點評通過對事件之間關(guān)系的分析，不僅使隨機變量概念在學生頭腦中進一步升華，更體現(xiàn)了用隨機變量描述隨機試驗結(jié)果的科學性和合理性.

師：很好！上面這種函數(shù)關(guān)系對于我們掌握隨機變量的概率分布規(guī)律以及解答相應事件的概率帶來了很大的方便.你能將它推廣到一般情形嗎？

給學生充分的思考時間后，由師生共同得出離散型隨機變量分布列的概念.

一般地，若離散型隨機變量X的所有可能取的不同值為

x1，x2，…，xi，…，xn，

X取每一個值xi（i=1，2，…，n）的概率P（X=xi）=pi，以表格的形式表示如下：

該表稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.有時為了簡單起見，也用等式

P（X=xi）=pi，i=1，2，…，n

表示X的分布列.（板書）

問題12根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機變量的分布列有哪些性質(zhì)？

生16：每個概率值都是非負的，且它們的和等于1.

師：請用符號語言表示.

生16：pi≥0；p1+p2+p3+…+pn=1.

師：pi≥0好理解，但是p1+p2+p3+…+pn=1是為什么？

生16：因為所有隨機變量對應的事件都是互斥事件，且其和事件是必然事件，所以p1+p2+p3+…+pn=1.

師：好！這樣我們根據(jù)概率的性質(zhì)，得到了離散性隨機變量的分布列具有如下性質(zhì)：

（1）pi≥0，i=1，2，3，…，n；（2）∑ni=1pi=1.

問題13你能給出課始時，問題1中涉及的這類問題的分布列嗎？

生17：由于這類隨機試驗都只有兩個試驗結(jié)果，所以可以規(guī)定它們對應的隨機變量X的取值為0，1.假設(shè)X=1時的概率用p表示，那么X=0時的概率為1-p，可得分布列如下：

師：為什么X=0時的概率為1-p？

生：因為分布列中所有的概率之和為1.即∑ni=1pi=1.

師：很好！利用分布列和概率的性質(zhì)，可以計算能由離散型隨機變量表示的事件的概率.這也是我們學習分布列的目的.

師：像表3這樣的分布列稱為兩點分布列.若隨機變量X的分布列為兩點分布列，則稱X服從兩點分布，并稱p=P（X=1）為成功概率.兩點分布又稱0—1分布.由于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗叫伯努利試驗，所以還稱這種分布為伯努利分布.

點評回扣課始的問題，有始有終，便于學生感受建立概率模型的整個過程，完善學生的認知結(jié)構(gòu).提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生從數(shù)學的視角思考問題、分析問題和解決問題的能力.

2.5反思小結(jié)，觀點提煉

師：本節(jié)課我們學習了什么知識？

生：離散型隨機變量、概率分布列.

師：你能給本節(jié)課命名嗎？

生：離散型隨機變量及其分布列.（板書）

2.51由點成線，把握知識的來龍去脈——形成知識網(wǎng)絡(luò)

問題14回顧本節(jié)課我們所學的知識點，你能把它們聯(lián)系起來嗎？

通過師生交流，運用多媒體演示，得出本節(jié)課的思維導圖.

2.52抽象概括，感受數(shù)學建模過程——揭示數(shù)學的規(guī)律

問題15回顧本節(jié)課中兩點分布這一概率模型的建模過程，你能說說建立數(shù)學模型的一般過程或步驟嗎？

師生交流后共同得到建立數(shù)學模型的一般過程（多媒體動畫展示）.

點評以知識為載體，通過反思小結(jié)，凸顯知識之間的聯(lián)系，突出學習過程中運用的數(shù)學思想方法，使學生收獲的不僅僅是“魚”，更重要的是主動獲取“魚”的方法——“漁”.對于數(shù)學建模過程的小結(jié)，更體現(xiàn)了“教”是為了“不教”.

總評（1）本教學設(shè)計，是按照““自主學習與創(chuàng)新意識培養(yǎng)”數(shù)學課堂教學模式”的環(huán)節(jié)和思想設(shè)計的，用15個環(huán)環(huán)相扣，層層遞進，相互聯(lián)系的問題作為線索，構(gòu)筑出了本節(jié)課的骨架，是課堂教學的航標，有效的避免了課堂提問細碎、隨意等問題，能簡潔有效地驅(qū)動教學，并能讓學生在解決問題的過程中獲得知識、技能、方法.在課堂開始時，首先提出的問題1中的3個隨機試驗都是學生非常熟悉的，然后引導學生發(fā)現(xiàn)這3個隨機試驗有一個共同特征——每個隨機試驗都有兩個試驗結(jié)果；接著提出問題2讓學生發(fā)現(xiàn)可以分別用0和1來表示每個隨機試驗中兩個試驗結(jié)果；再由問題3發(fā)現(xiàn)多于2個試驗結(jié)果時也可用不同的數(shù)字表示不同的試驗結(jié)果，這樣隨機變量的概念應運而生.

（2）本教學設(shè)計，站在數(shù)學知識整體的高度處理問題，使學生溝通了與已學知識之間的聯(lián)系，對本節(jié)知識的理解更深刻，記憶更牢固.比如，通過問題4讓學生把本節(jié)的隨機變量與映射、對應聯(lián)系起來了；通過問題7使學生知道如何把一個連續(xù)性隨機變量轉(zhuǎn)化為離散性隨機變量的辦法，這在實際中是很有用的；通過問題9揭示了隨機變量與其對應的概率值之間是一種函數(shù)關(guān)系，溝通了與函數(shù)知識的聯(lián)系，并自然而然地得到了離散型隨機變量X的分布列的三種表示方法：列表法、解析式法、圖像法.

（3）本教學設(shè)計，還有一個亮點，即課堂小結(jié)，不是僅僅讓學生談?wù)勈斋@，也不是簡單復述一遍學過了哪些知識，用到了什么方法、思想，而是通過問題14師生共同得出了本節(jié)課的思維導圖；通過問題15提煉出了建立數(shù)學模型的一般過程或步驟.

（4）在課堂教學過程中，執(zhí)教教師語言精確嚴謹，教態(tài)自然大方，師生互動深入，課堂氣氛活躍，教學效果好！

盡管隨機變量及其分布列的概念比較簡單，但這些內(nèi)容的構(gòu)建過程中所蘊含的歸納、分析、類比、抽象、建立數(shù)學模型等思想方法，具有很強的普適性，對于后繼學習具有重要而深刻的影響.因此，本節(jié)課的教學不能只停留在傳授語言文字的結(jié)論性知識上，而應把知識作為探究的對象，讓學生經(jīng)歷、感受概念的構(gòu)建過程，體會、掌握其背后所蘊含的數(shù)學思想方法和思維方法.不僅僅讓學生知道“知識是什么？”，更在于以知識為載體，讓學生體會、理解研究數(shù)學問題的思路與方法，體會數(shù)學知識是這樣而不是那樣的科學性、合理性在哪里，體會創(chuàng)造和構(gòu)建數(shù)學知識的策略與方法，努力提升學生的數(shù)學能力和素養(yǎng).

參考文獻

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