“導數(shù)概念”在中英不同教材中的編寫比較

沈金興

【摘要】

在中、英兩國不同版本的高中數(shù)學教材中就“導數(shù)概念”內容進行了編寫特征的比較。從導數(shù)概念得出的結構路徑、表述形式與例習題的編排方式、數(shù)量、難易水平、綜合水平及信息技術的融入等方面建立框架，并以宏觀與微觀兩個層面作比較分析，得到了兩國教材在編寫上具有宏觀的相似性和微觀的差異性，從而得到了教材編寫的啟示.

【關鍵詞】導數(shù)概念；結構路徑；例習題

1引言

2015年8月，一部由英國BBC公司制作的關于中英兩國教育比較的紀錄片，引起了兩國的熱議.該片以英國漢普郡某中學為背景，在一個自愿組成的50名英國中學生班級里，邀請了5位中國教師來進行為期1個月的“中式教學”，然后通過測驗與其他班級進行PK，最后是采用“中式教學”的實驗班取得完勝的一部3集紀錄片.而在實施“中式教學”的科目中就有數(shù)學，且在最后的測驗中平均分超過了對照班10分.這部紀錄片播出后，關于中英兩國的教育孰優(yōu)孰劣開始爭論不休.但筆者認為這完全沒必要，因為由BBC公司策劃的這場“教學實驗”，既不科學也不嚴謹，它完全是以娛樂為主，以提高收視率為最終目的，所以在選擇、剪輯素材來制造“懸念、沖突”等方面是不客觀的，因而不能算作嚴格意義上的教學實驗，也不是比較教育研究.為了真實、客觀地反映中英兩國的教育，筆者特意選了兩國各一本高中數(shù)學教材，并就某一個相同內容的教材編寫特點作比較研究，以期能較真實地了解兩國不同的數(shù)學教育現(xiàn)狀.1研究方法

2.1研究對象

比較研究的內容是“導數(shù)概念”，選取的中國大陸教材是人民教育出版社出版（2007版）的數(shù)學（A版）選修22（簡稱“人教版”），英國教材選用的是由培生公司（A pearson company） 2009年出版的，英國愛德思（Edexcel）國家職業(yè)學歷與學術考試機構所用的教材：Edexcel AS and A Level Modular Mathematics （core1）（簡稱“ASA版”）.

顯然在現(xiàn)階段，這兩個版本的教材是各自國家中使用最廣泛的.雖然中國大陸有幾個版本的高中數(shù)學教材，但大多數(shù)省份還是使用人教版，因而很有代表性.而英國高中的Edexcel考試委員會所用的教材就是核心數(shù)學模塊系列（分別是core1、core2、core3和core4）.其中core1、core2教材的程度相當于中國大陸的高一，屬于A Level考試（相當于高考）的AS Level，也是英國學生在進大學前的必修課程.由于“導數(shù)概念”在ASA版core1的第七章，而人教版在選修22的第一章，所以就以這兩本教材為研究對象.

2.2研究問題

中英這兩個版本的教材就“導數(shù)概念”這塊內容是如何編寫的呢？導數(shù)概念的引入與表述又是怎樣？相對應例習題的編寫特征是什么？題量、難易度與綜合水平又是如何配置的？

2.3研究方法

基于兩個不同版本的高中數(shù)學教材的文本，從宏觀和微觀兩個方面建立分析框架，以具體內容的細節(jié)分析比較為主要研究方法，以便更清楚地了解兩種教材的異同點.3研究結果與討論分析

3.1導數(shù)起源概述

為了更好地理解兩國教材在對導數(shù)概念處理方式上的異同點，有必要對導數(shù)的起源有所了解.微積分誕生于17世紀，但導數(shù)的產(chǎn)生其實起源于對三個古老問題的研究，分別為解決光學問題、處理曲線運動的速度問題與確定曲線的夾角問題.而要解決這三個問題都涉及到同一件事，那就是要解決曲線的切線問題[1].所以，曲線的切線問題導致了導數(shù)的誕生，故要講授導數(shù)，必定離不開切線問題.

3.2導數(shù)概念的編寫比較

3.21導數(shù)概念的結構路徑比較

通過宏觀層面來觀察兩國不同教材對導數(shù)概念的得出.下面以它們的呈現(xiàn)結構路徑為例來比較.人教版安排了3小節(jié)，具體的編寫路徑為：生活中的平均變化率瞬時速度在x=x0處的導數(shù)概念導數(shù)的幾何意義：在點P處的切線導數(shù)的概念

而英國ASA版安排了2節(jié)，具體的編寫路徑為：在曲線某一點變化率與切線求f（x）=x2圖象上某一點的切線斜率導數(shù)f′（x）的概念

從宏觀的角度來看導數(shù)概念呈現(xiàn)的結構路徑，其編寫的思路基本相同：都是從特殊到一般.也就是都從具體的例子著手來引出導數(shù)概念，并且在對導數(shù)概念的引入形式上也是相同的：都不是從嚴格的連續(xù)性和極限的概念上來得出的，而是通過實際例子和切線的斜率，從形到數(shù)讓學生直觀地體會“以直代曲“的思想后直接給出.所以導數(shù)概念在得出之前的整體結構上編寫思路是一致的.

但從微觀的角度來看，兩國教材在導數(shù)概念引出之前的處理上還是有明顯差異的.中國的人教版教材是以平常生活中的現(xiàn)象來引出的：氣球的膨脹率和運動員高臺跳水來引出平均變化率，然后以瞬時變化率來得出y=f（x）在x=x0處的導數(shù)概念，再理解它的幾何意義得到函數(shù)f（x）在x=x0處切線的斜率，最后才得出f（x）的導數(shù)概念，即導數(shù)f′（x）.而英國的ASA版教材直截了當?shù)貜那€的切線入手，在討論y=x2的圖象在不同點處的切線斜率后就歸納出y=x2的切線斜率，接著就得出了導數(shù)概念f′（x）.這表明人教版在概念引入方面更注重實際生活例子，強調數(shù)學在生活中的應用，因而生活味很濃.而ASA版則更注重于數(shù)學本質，它以當年數(shù)學家迫切需要解決的切線問題為抓手來處理，遵循了歷史發(fā)生原理[2]，故編寫得更具數(shù)學味.

3.22導數(shù)概念的表述形式比較

中國的人教版教材對導數(shù)概念的表述分了兩步走.第一步是函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導數(shù)，記作f′（x0）或y′x=x0，即f′（x0）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx；第二步：當x=x0時，f′（x0）是一個確定的數(shù)，當x變化時，f′（x）便是x的一個函數(shù)，稱它為f（x）的導函數(shù)（簡稱導數(shù)），記作y′，即f′（x）=y′=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）Δx.

英國的ASA版教材則是從兩點的割線斜率入手，也是分兩步走.圖1第一步是直接給出如圖1中的割線BC的斜率：f（x+h）-f（x）（x+h）-x；第二步說明當h越來越小時，割線BC就成了在點B處的切線，此時就給出了f′（x）的定義是limh→0[f（x+h）-f（x）h].

從微觀角度，即兩國教材對導數(shù)概念f′（x）的具體表述形式來看，也體現(xiàn)出了不同的編寫特點.人教版是從代數(shù)角度來說明的，先以y=f（x）在x=x0處的一個確定的導數(shù)值f′（x0）開始，然后通過函數(shù)的概念來確定當x0變化時，f′（x0）就變成了一個函數(shù)，于是就成了導函數(shù)f′（x），因而導數(shù)是導函數(shù)的簡稱.而ASA版則是從幾何角度來說明的，先以兩點割線斜率作為出發(fā)點，然后通過轉動逼近變成切線，于是切線斜率就成了導數(shù)f′（x）.所以在導數(shù)概念的表述上，中國教材側重于代數(shù)角度，而英國教材則更側重于幾何角度，不過中國教材還補充了f′（x0）的幾何意義，比英國教材更完整一些.當然也有相類似的地方，即兩國教材都沒有解釋極限“l(fā)im”和曲線連續(xù)性這個前提，都刻意進行了規(guī)避，所以從宏觀的角度看，體現(xiàn)出了相同的編寫思路.

3.3導數(shù)概念的例習題編寫比較

3.31例習題編排形式與數(shù)量比較

在導數(shù)概念得出之前，兩國教材都安排了例題、探究題、觀察題和練習題.其中作為概念引入的例子也算作例題，而中間安排的思考題或探究題則一律當作探究題來統(tǒng)計，觀察題則單獨統(tǒng)計.人教版的練習題與習題A、B就按教材的標記來統(tǒng)計，而ASA版的綜合題是放在一章節(jié)的最后，類似于習題B.具體統(tǒng)計結果見表1.

從宏觀角度觀察兩國版本的例習題編排形式，有許多共同之處.都是先安排例子作為引入，接著分析，在中間穿插安排一些思考題、探究題與觀察題，然后先給一些子概念，再舉例題和相匹配的練習題，最后才得出導數(shù)概念，并再安排一些習題.而表1也反映了這點，且在數(shù)量上也相差無幾.人教版安排了3節(jié)，平均每節(jié)題量約為77題；ASA版安排了2節(jié)，平均每節(jié)85題.所以兩國教材在例習題的編排思路上基本一致，在概念得出前都安排了思考與探究，而這也符合學生學習的認知特點.在得到概念后均安排了較多的配套習題，說明兩國教材的編寫者都認同數(shù)學概念的鞏固離不開大量習題的練習，這也反映了數(shù)學這門科目的共同特征，且從數(shù)量上看英國教材略多于中國教材.

3.32例習題的難易水平比較

為了進一步比較兩國版本在編寫例習題時的難易度，筆者借鑒美國教育心理學家布盧姆關于學習水平劃分的理論，將例習題的難易程度從低到高分成四個水平.水平1：直接代公式或知識再認就可以了，屬于識記，只需一步運算即可；水平2：需要兩步運算，包括概念的運用或分析轉化后一步運算等，屬于領會；水平3：比領會有更高的理解水平，能應用于新的情境，往往需要三步運算，屬于運用；水平4：需要挖掘深藏的條件，通過三步以上運算才能解決，屬于復雜運用和靈活創(chuàng)新運用.這四種運算水平分別記為L1，L2，L3，L4，并賦權重為1、2、3、4.表2統(tǒng)計了兩版本不同水平的例習題（含探究題、觀察題）數(shù)量，并計算其加權平均水平以作比較.

對例習題的水平進行量化后發(fā)現(xiàn)，兩個版本的例習題難易度適中，都大量集中在水平2與水平3中.相比較而言，人教版均等，各占435%，而ASA版水平2居多一點，占了585%，水平3為353%.水平4人教版有2題，而英國的則沒有.所以總體而言，中國的人教版要略難于英國的ASA版，這從加權平均水平也反映了出來.

3.33例習題的綜合水平比較

如果再從微觀層面看，即涉及具體知識點的綜合程度來作比較，則還可將綜合性分為四類水平：水平Ⅰ—只和導數(shù)領域內的知識點綜合；水平Ⅱ—和數(shù)學中其他的領域綜合；水平Ⅲ—和其他學科（如物理、生物等）相關知識的綜合；水平Ⅳ—和具有現(xiàn)實生活背景的問題綜合.圖2反映了兩國版本在例習題方面的不同綜合水平.圖2例習題綜合水平比較

從圖2中可明顯看出，人教版教材更多地注重導數(shù)和生活、導數(shù)與其他學科的聯(lián)系等，而直接純粹在導數(shù)或數(shù)學中的應用較少.這也符合課程標準的要求：“力求使學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的應用、數(shù)學與日常生活及其他學科的聯(lián)系”，[3]尤其是在與其他學科的聯(lián)系中，涉及與化學、物理、生物、經(jīng)濟等各學科的知識，綜合水平很高.相反英國的ASA版本大多數(shù)集中在與導數(shù)相關的數(shù)學知識上，與其他學科的綜合水平很低，它更強調數(shù)學本身的背景，因而數(shù)學味很濃，這就體現(xiàn)了兩國編寫者的不同理念.

3.34信息技術的融入比較

隨著信息技術的快速發(fā)展和網(wǎng)絡化的普及，一些新的教育技術要在教材和教學中有所體現(xiàn).在這方面兩國的教材編寫者的理念基本相同，因為在人教版中有3處融入了信息技術，平均一節(jié)一處，而ASA版教材中安排了兩處，也是平均一節(jié)一處，所以基本持平.這反映了大家都在關注這股新興力量，并能發(fā)揮出其優(yōu)勢為教學所用.所以課標中提出的“注重信息技術與數(shù)學課程的整合”的理念還是與時俱進的.4結論

4.1兩國教材的編寫具有宏觀上的相似性

從宏觀層面觀察，兩國教材對“導數(shù)概念”的編寫方面具有較多的相似性.比如在導數(shù)概念的引入和得出方面，其結構路徑大致相似，都是按照從特殊到一般的編排思路；在導數(shù)概念的描述上都不涉及嚴格的連續(xù)性與極限的概念，而是從圖形上直觀感知；在例習題的編寫上也是高度相似，在概念引出前都安排探究思考題，在例題后緊跟習題，題量較多難度適中；都注重信息技術的融入等.這說明兩國編寫者在框架結構和形式等宏觀方面的理念上具有極大的相似性.

4.2兩國教材的編寫具有微觀上的差異性

從具體的微觀層面觀察，又可發(fā)現(xiàn)兩國編寫者在處理細節(jié)上有較大的差異.

4.21導數(shù)概念的引入與得出方式不同

人教版在導數(shù)概念的引入上花了較多篇幅，并以日常生活中的例子為研究討論對象.先從代數(shù)角度分析，然后再回歸到幾何角度去審視導數(shù)的意義，側重于代數(shù)，再輔以幾何解釋；而ASA版則開門見山就開始討論曲線的切線，來得更直接，也更接近于數(shù)學知識的起源和本質要求，比較側重于幾何，也更注重于純數(shù)學味.這表明兩國的教學理念存在著差異.

4.22例習題編寫的綜合程度不同

人教版無論是在引入和探究，還是例題或習題，都更注重于數(shù)學在生活中的應用、數(shù)學與其他學科的聯(lián)系，綜合性程度強，綜合水平高，很好地展現(xiàn)了課程標準中的要求.相反ASA版教材更多注重于數(shù)學問題本身，與實際生活的綜合或跨學科綜合程度不高.這也反映了兩國對數(shù)學知識的應用在觀念上存在著差異.

4.3編寫教材的啟示

兩國教材在宏觀上的相似性與微觀上的差異性為我國人教版教材在以后的編寫中帶來了啟示.一方面要繼續(xù)傳承兩國教材中的共同點，編寫出更符合學生學習規(guī)律和認知特點的教材，如導數(shù)概念在宏觀上的編排結構、表述形式和例習題的設計思路及信息技術的融入方面仍要繼承，因為這是兩國都認同的觀點；另一方面也要取長補短，吸收英國教材中好的方面為我所用.比如人教版教材在注重數(shù)學知識的生活化方面太多了些，從而使數(shù)學味淡了，有“去數(shù)學化”之嫌疑，故可借鑒ASA版，適當中和一下，兩者兼顧；另外在導數(shù)概念的引入方面是否也可以像英國教材一樣，直接回歸到當年數(shù)學家在得出導數(shù)時研究的原始問題——切線問題，這樣也符合數(shù)學史的發(fā)展規(guī)律，事實上我國的蘇教版在導數(shù)概念的引入上就是這樣處理的.

總之，比較兩國教材在某知識點上的異同是一種方法，目的是能認清我國教材的優(yōu)缺點，能揚長避短，吸取他國之精華，從而編寫出更符合學生學習的好教材.

參考文獻

[1][2]汪曉勤.數(shù)學文化透視[M].上海：科學技術出版社，20131

[3]普通高中數(shù)學課程標準[S].北京：人民教育出版社，2006