換位思考

錯項求和在數(shù)列中是一塊重要的內(nèi)容，是近幾年各省高考試卷中的常客，錯項求和方法簡單，其一般數(shù)列的通項形式為an=（an+b）·qn，通常要先列出等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的式子，設(shè)為式1；然后將這個式子乘以公比，形成式2.兩式相減，形成一個等比數(shù)列.

但這樣在運算過程中經(jīng)常會發(fā)生錯誤；可將錯項求和轉(zhuǎn)化為裂項求和，將數(shù)列中的每項分解，

重新組合，使之能消去一些項，減少運算錯誤最終達到求和的目的.

題型1已知數(shù)列{an}的通項滿足an=（an+b）·qn（q≠0且q≠1），Sn為其前n項和，求Sn.

分析 通項滿足an=（an+b）·qn，且求其前n項和Sn，是錯項求和的主要題型；利用裂項求和，將數(shù)列中的每項分解，如何分解是關(guān)鍵？

解令an=（an+b）·qn=bn+1-bn=[A（n+1）+B]·qn+1-An+B·qn

=qn·[（qA-A）n+qA+qB-B]

所以qA-A=a，

qA+qB-B=b，

所以A=aq-1，

B=bq-aq-bq-12，

所以bn=aq-1n+bq-aq-b（q-1）2·qn，

所以Sn=a1+a2+a3+…+an

=b2-b1+b3-b2+b4-b3+…+bn+1-bn

=bn+1-b1

=aq-1（n+1）+bq-aq-b（q-1）2·qn+1-b·q2-a+bqq-12.

點睛將an=（an+b）·qn=bn+1-bn=[A（n+1）+B]·qn+1-An+B·qn是這類裂項求和題型的關(guān)鍵，再利用待定系數(shù)法求出A，B.

例1（2015年高考山東，理18）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知2Sn=3n+3.（Ⅰ）求{an}的通項公式； （Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足anbn=log3an，求{bn}的前n項和Tn.

分析（Ⅱ）求{bn}的前n項和Tn，標(biāo)準(zhǔn)答案采用錯項求和，筆者利用裂項求和的方法加以解答.

解（Ⅰ）略得：an=3，n=1，

3n-1，n>1，

（Ⅱ）由條件得，bn=13（n=1），

n-1·31-n（n>1），

當(dāng)n>1時，bn=（n-1）·31-n=cn+1-cn=[A（n+1）+B]·3-n-An+B·31-n

=31-n·An+A3+B3-An-B

=31-n·-2A3n+A3-2B3

所以-2A3=1，

A3-2B3=-1，所以A=-32，

B=34，

所以cn=-32n+34·31-n

所以Tn=b1+b2+…+bn

=b1+c3-c2+c4-c3+…+cn+1-cn

=13+-32（n+1）+34·3-n--32·2+34·3-1

=1312-6n+34·3n.

點睛bn=13（n=1），

n-1·31-n（n>1）是一分段數(shù)列，利用錯項法求，在運算、并項、化簡過程中，會出現(xiàn)錯誤；但利用裂項法，簡潔，明了.

題型2 已知數(shù)列{an}的通項滿足an=（an2+bn+c）·qn（q≠0且q≠1），Sn為其前n項和，求Sn.

分析通項滿足an=（an2+bn+c）·qn，且求其前n項和Sn，要用兩次錯項求和，首先將an=（an2+bn+c）·qn轉(zhuǎn)化an=（An+B）·qn，再用錯項法才能解答，且不容易想到；但用裂項求和很容易解答.

解an=（an2+bn+c）·qn=bn+1-bn

=A（n+1）2+B（n+1）+C·qn+1-An2+Bn+C·qn

=qn·（qAn2+2qAn+qA+qBn+qB+qC-An2-Bn-C）

=qn·[（qA-A）n2+（2qA+qB-B）n+（qB+qC-C）]

所以qA-A=a，

2qA+qB-B=b，

qB+qC-C=c，

所以A=aq-1，

B=bq-b-2aq（q-1）2，

C=c+2a-bq2+b-2cq+cq-13，

所以bn=[aq-1n2+（b-2a）q-bq-12n+c+2a-bq2+b-2cq+cq-13]qn

所以Sn=a1+a2+a3+…+an

=b2-b1+b3-b2+b4-b3+…+bn+1-bn

=bn+1-b1

=[aq-1（n+1）2+（b-2a）q-bq-12（n+1）+c+2a-bq2+b-2cq+cq-13]qn+1-[aq-1+b-2aq-bq-12+c+2a-bq2+b-2cq+cq-13]q.

點睛裂項求和的思路是利用已知數(shù)列的通項的特點，將通項轉(zhuǎn)化為另外一個數(shù)列兩項的差.

例2 （山東濱州市2016年高三3月模擬）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an-2.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）令bn=log2an，cn=b2nan，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.

分析由條件得cn=n22n，求{cn}的前n項和Tn，很難想到用兩次錯項求和，但用裂項求和很容易.

解（Ⅰ）略.an=2n.

（Ⅱ）cn=n22n=dn+1-dn=A（n+1）2+B（n+1）+C2n+1-An2+Bn+C2n

=（A2n2+An+A2+B2n+B2+C2-An2-Bn-C）2n

=-A2n2+（A-B2）n+A+B-C22n，

所以-A2=1，

A-B2=0，

A+B-C2=0，所以A=-2，

B=-4，

C=-6，

所以dn=-2n2-4n-62n=-n2-2n-32n-1，

所以Tn=c1+c2+…+cn

=d2-d1+d3-d2+…+dn+1-dn

=dn+1-d1=-（n+1）2-2（n+1）-32n--620

=6-n2+4n+62n.

裂項求和是中學(xué)數(shù)列求和中應(yīng)用最廣泛的一種方法，一些常見的思路，如等差數(shù)列、等比數(shù)列，都可以用裂項求和.從裂項求和方法出發(fā)，可以構(gòu)造很多能用裂項求和的數(shù)列，這給數(shù)列求和的命題提供了豐富的素材.作者簡介祝勁永，男，浙江省岱山人，1970年1月生，中學(xué)高級教師，舟山市正高級教師.多年來競賽輔導(dǎo)成績喜人，1999年至今獲全國二等獎4名，獲全國三等獎2名，省一等獎13名，在浙江省第二屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課評比中獲三等獎.2005學(xué)年度被評為縣學(xué)科帶頭人.2007年被聘為舟山市中小學(xué)學(xué)科教學(xué)質(zhì)量評審專家組成員.2013年被評為市首批正高級教師，岱山縣優(yōu)秀人才.