一類特殊函數(shù)不定積分與反常積分的求解

張燕艷

(南通理工學院 基礎課教學部，江蘇 南通 226002)

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一類特殊函數(shù)不定積分與反常積分的求解

張燕艷

(南通理工學院 基礎課教學部，江蘇 南通 226002)

摘要：給出真分式不定積分的幾個公式，利用帶余除法和待定系數(shù)法將分式有理函數(shù)拆分為多項式與幾個真分式之和，再結合真分式不定積分公式，求出有理函數(shù)的不定積分.有理函數(shù)的反常積分，可結合復變函數(shù)留數(shù)理論較方便地求出結果.

關鍵詞：有理函數(shù);不定積分;反常積分;留數(shù)

在數(shù)學分析中，有理函數(shù)的不定積分和定積分是一個重點和難點.有理函數(shù)的積分在實際應用中經(jīng)常遇到，有些無理函數(shù)、三角函數(shù)等其他類型的函數(shù)，通過代換也可以化成有理函數(shù)的積分.有理函數(shù)的反常積分，用一般方法很難解決或幾乎無能為力，但是如果能結合復變函數(shù)理論來解決，就能達到化難為易、化繁為簡的效果.

1概念

有理函數(shù)是特殊的亞純函數(shù)，是用加減乘除四則運算將多項式連接起來而得到的函數(shù).一個有理函數(shù)h可以寫成如下形式：h=f/g，這里f和g都是多項式函數(shù)，即具有如下形式，

2不定積分的解法

有理函數(shù)的不定積分形式即為

任意多項式Qm(x)在實數(shù)范圍內能分解成一次因式和二次質因式的乘積，即

Qm(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm=

b0(x-α1)λ1(x-α2)λ2…(x-αi)λi(x2+β1x+γ1)μ1(x2+β2x+γ2)μ2…(x2+βjx+γj)μj=

其中，A11,A12,…Aiλi,B11,B12,…Bjμj,C11,C12,…Cjμj均為待定系數(shù).

3反常積分的解法

對一般有理函數(shù)定積分的求解，結合上述有理函數(shù)原函數(shù)的求法，并利用Newton-Leibniz公式

可以得到有效解決.而有理函數(shù)的反常積分用上述方法則難以解決，如果結合復變函數(shù)理論，利用留數(shù)定理可以較容易求得有理函數(shù)的反常積分[3].

所以∮Cf(z)=2πiRes[f(z),z0].

在復數(shù)范圍內x2+1可化為x2-i2，x2+9可化為x2-(3i)2.令

4小結

當然，有理函數(shù)的可計算積分也是有條件的，對于不可以分解的有理函數(shù)的積分還有待進一步研究.

參考文獻

[1]同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學：上冊[M].4版.北京:高等教育出版社，1996:259-265.

[2]劉新文.有理函數(shù)的不定積分的求法[J].湖南科技學院學報，2009,30(8):1-5.

[3]許平,張海平.留數(shù)定理在定積分計算中的應用[J].數(shù)學學習與研究，2012(3):79-80.

[4]賀才興.復變函數(shù)與積分變換[M].沈陽:遼寧大學出版社，2000:101-114.

A Kind of Special Function of Indefinite Integral and Improper Integral Solution

ZHANG Yanyan

(Department of Foundation Course, Nantong Institute of Technology， Nantong 226002， China)

Abstract:Several formula real fraction indefinite integrals ave given. By zone division and undetermined coefficients, polynomial and rational function are split to the sum of several real fraction, and combining real fraction indefinite integral formula, the indefinite integral of rational function is given. The improper integrals of a rational function can be solved by combining the theory of complex function residue.

Key words:rational function; indefinite integral; improper integral; residue

收稿日期：2016-01-10

基金項目：南通理工學院課題《高等數(shù)學課程教學的研究與實踐》(教研2014003)

作者簡介：張燕艷(1981—)，女，江蘇南通人，南通理工學院基礎課教學部講師.

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2016.02.015

中圖分類號：O172.2

文獻標志碼：A

文章編號：1007-0834(2016)02-0063-04