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    基于問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)期望定義的教學(xué)探討

    2016-07-18 07:26:21李新娜
    關(guān)鍵詞:問題驅(qū)動

    李新娜,陳 軻

    (1.信息工程大學(xué) 理學(xué)院,河南 鄭州 450002;2.信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院,河南 鄭州450002)

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    基于問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)期望定義的教學(xué)探討

    李新娜1,陳軻2

    (1.信息工程大學(xué) 理學(xué)院,河南 鄭州 450002;2.信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院,河南 鄭州450002)

    摘要:以問題為驅(qū)動,數(shù)學(xué)期望定義的教學(xué)劃分為“離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義”、“數(shù)學(xué)期望的含義”、“連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義”和“數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用”4個層次.

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)期望;問題驅(qū)動;離散;連續(xù)

    0引言

    數(shù)字特征能夠描述隨機(jī)變量或人們較關(guān)心的某些方面的重要特征,在理論上和應(yīng)用中都非常重要.尤其數(shù)學(xué)期望是其他數(shù)字特征的基礎(chǔ),因此在教學(xué)過程中需要給予“數(shù)學(xué)期望”更多的關(guān)注.然而,在常見的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材[1-2]里,數(shù)學(xué)期望的引入是通過介紹離散型隨機(jī)變量按各種取值的概率大小所作的加權(quán)平均值進(jìn)行解釋的,而對于連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望則直接給出數(shù)學(xué)定義,使得學(xué)生很難對數(shù)學(xué)期望的概念獲得較深刻的認(rèn)識[3].

    鑒于此,作者以問題為驅(qū)動,將數(shù)學(xué)期望定義的教學(xué)劃分4個層次.首先,從簡單的生活實(shí)際問題出發(fā),通過組織學(xué)生討論,讓學(xué)生在討論中感受引入數(shù)學(xué)期望概念的必要性,再逐步引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)和總結(jié)出離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義;其次,通過對離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的公式演化,清晰地看出數(shù)學(xué)期望的含義,進(jìn)而,對連續(xù)型隨機(jī)變量進(jìn)行離散化,自然地導(dǎo)出連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義;最后,通過對美國數(shù)學(xué)競賽評分標(biāo)準(zhǔn)的探討,引發(fā)學(xué)生層層思考來推動知識點(diǎn)的展開,引導(dǎo)學(xué)生利用現(xiàn)有知識解決實(shí)際問題.

    1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義

    通過引例分析,結(jié)合總結(jié)求解過程,引入離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義.

    引例評判打靶水平.甲、乙兩個射手打靶,其命中環(huán)數(shù)X,Y的分布律如表1所示,試問哪個射手的射擊技術(shù)較好?

    表1 X和Y的分布律

    甲乙射擊水平的高低完全由其分布律決定,這是毋庸置疑的,但在比較分布律時遇到困難,針對不同環(huán)數(shù)甲、乙的高低水平不一樣.而實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn),因此讓甲、乙各射擊n次,其命中情況如表2所示,比較他們射擊一次的平均命中環(huán)數(shù).

    表2 甲、乙射擊的命中情況

    乙射擊一次的平均命中環(huán)數(shù)近似為

    對比9.3和9.1兩個結(jié)果,可以容易地看出甲的射擊水平高于乙的射擊水平.進(jìn)一步,總結(jié)該引例的求解過程,平均命中環(huán)數(shù)近似等于命中環(huán)數(shù)乘以相應(yīng)概率再進(jìn)行累加,因此得到離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義.

    2數(shù)學(xué)期望的含義

    從定義公式的整理形式還可以看出,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望本質(zhì)上就是以概率為權(quán)的隨機(jī)變量取值的平均值,反映了隨機(jī)變量的“平均方面”的特征,因此,數(shù)學(xué)期望構(gòu)成了進(jìn)行水平判定的重要依據(jù),正如引例中利用數(shù)學(xué)期望評判射擊水平的高低.

    3連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義

    關(guān)于數(shù)學(xué)期望,現(xiàn)在只有離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義,因此,落腳點(diǎn)還應(yīng)該在離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望上.這里采用數(shù)學(xué)上的一個典型思路“連續(xù)問題的離散化”.我們希望構(gòu)造一個合適的離散型隨機(jī)變量去近似一個連續(xù)型隨機(jī)變量[3].問題就是這個離散型隨機(jī)變量應(yīng)該如何構(gòu)造呢?

    4數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用

    根據(jù)數(shù)學(xué)期望的含義,數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的“平均”特征,因此數(shù)學(xué)期望主要用于判定水平高低(在保險等行業(yè)中也可以控制風(fēng)險大小).數(shù)學(xué)期望被廣泛應(yīng)用于工業(yè)的質(zhì)量控制、農(nóng)業(yè)的農(nóng)田試驗(yàn)、醫(yī)學(xué)的療效檢驗(yàn)、國防的效能分析、氣象的災(zāi)害預(yù)報等[4].

    美國數(shù)學(xué)協(xié)會組織的美國數(shù)學(xué)競賽[5](American Mathematics Competition,AMC)始于1950年,是為所有喜愛數(shù)學(xué)的學(xué)生所開發(fā)的,還可以篩選出具有特殊天賦者.AMC試題簡難兼具,使任何程度的學(xué)生都能感受到挑戰(zhàn).試題由25道選擇題構(gòu)成,每道題有5個選項(xiàng),只有一個正確答案.它的評分標(biāo)準(zhǔn)是答對一題得6分,答錯不扣分,但是未答得1.5分.將評分標(biāo)準(zhǔn)做個整體平移,相當(dāng)于答對一題得4.5分,答錯扣1.5分,未答得0分,而我們一般遇到的評分標(biāo)準(zhǔn)是答對一題得4.5分,答錯和未答得0分.下面從數(shù)學(xué)期望的角度論證評分標(biāo)準(zhǔn)的合理性.

    根據(jù)考試經(jīng)驗(yàn),遇到不會的題目,很多人不會空著,而是隨便猜個選項(xiàng),那么就假設(shè)某人憑運(yùn)氣猜題,記X=“在AMC評分標(biāo)準(zhǔn)下,他的題目得分”,Y=“在一般評分標(biāo)準(zhǔn)下,他的題目得分”.顯然,X和Y都是隨機(jī)變量,其中X的取值和對應(yīng)概率只有兩種情況,猜對了得4.5分,猜錯了得-1.5分,并且猜對的概率為1/5,猜錯的概率為4/5.通過數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可知,他的平均得分為

    類似地,Y的取值和對應(yīng)概率也只有兩種情況,猜對了得4.5分,猜錯了得0分,并且猜對的概率為1/5,猜錯的概率為4/5,因此,Y的數(shù)學(xué)期望為

    可以看出,在不同的評分標(biāo)準(zhǔn)下,一個胡亂猜答案的人的平均收益是不同的,在AMC評分標(biāo)準(zhǔn)下胡亂猜答案者不但沒收益,還有損失,而在一般評分標(biāo)準(zhǔn)下胡亂猜答案者總是有收益的.這說明了在AMC評分標(biāo)準(zhǔn)下鼓勵學(xué)生按照自己的實(shí)際能力進(jìn)行答題,即所謂“知之為知之,不知為不知”,因此也更能考察出學(xué)生的實(shí)際水平.通過這個簡單題目的求解,讓學(xué)生更深刻地認(rèn)識到數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用場合.

    5小結(jié)

    實(shí)踐證明,通過把數(shù)學(xué)期望定義的教學(xué)分解為4個問題的解決,不僅能充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和主動性,而且有利于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和知識遷移的能力.

    參考文獻(xiàn)

    [1]盛驟,謝式千,潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2008:90-91.

    [2]熊歐,仇海全,武潔. 數(shù)學(xué)期望的教學(xué)方法新探[J]. 科技信息,2010(8):12.

    [3]華劍. 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義探析[J].考試周刊,2008(30):44.

    [4]苗慧. 論概率中數(shù)學(xué)期望在實(shí)際生活中的應(yīng)用研究[J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊,2013(29):24-27.

    [5]百度百科.美國數(shù)學(xué)競賽[EB/OL].[2015-09-12]. http://baike.baidu.com/view/6910868.htm.

    Discussion on Teaching the Definition of Mathematical Expectation Based on Problem-driven

    LI Xinna1, CHEN Ke2

    (1.School of Science, Information Engineering University, Zhengzhou 450002, China;2.InstitutionofNavigationandAerospaceEngineering,InformationEngineeringUniversity,

    Zhengzhou450002,China)

    Abstract:Based on the problems, the teaching procession of the definition of mathematical expectation is divided into four layers: the definition of discrete random variable mathematical expectation, the meaning of mathematical expectation, the definition of continuous random variable mathematical expectation and the application of mathematical expectation.

    Key words:mathematical expectation; problem-driven; discrete; continuous

    收稿日期:2015-11-28

    基金項(xiàng)目:信息工程大學(xué)教育教學(xué)項(xiàng)目(XD6201513C)

    作者簡介:李新娜(1982—),女,河南確山人,信息工程大學(xué)理學(xué)院講師,博士,主要研究方向:應(yīng)用統(tǒng)計(jì).

    doi:10.3969/j.issn.1007-0834.2016.02.016

    中圖分類號:G642.0;O211.67

    文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

    文章編號:1007-0834(2016)02-0067-03

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