民族預(yù)科數(shù)學(xué)“微分中值定理”的教學(xué)探索

謝振中+尹小紅

摘 要： 本文從民族預(yù)科學(xué)生的基本特點和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等實際情況出發(fā)，就微分中值定理的教學(xué)方法進行了有益的探索，把教學(xué)重點轉(zhuǎn)移到對定理結(jié)論的幾何剖析，構(gòu)造輔助函數(shù)方法，以及微分中值定理的簡單應(yīng)用上.

關(guān)鍵詞： 民族預(yù)科數(shù)學(xué) 微分中值定理 教學(xué)探索

1.問題的提出

微分中值定理是民族預(yù)科數(shù)學(xué)《微積分基礎(chǔ)》中的基本內(nèi)容，它包括Rolle中值定理、Lagrange中值定理及Cauchy中值定理，它是微分學(xué)的理論基礎(chǔ).正確理解中值定理的條件和結(jié)論及其證明，對應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)變化的性質(zhì)的教學(xué)及學(xué)生學(xué)好微積分起著十分重要的作用，如何讓預(yù)科學(xué)生領(lǐng)會定理的精髓和掌握定理的證明方法，是微分中值定理教學(xué)的重點和難點.這部分內(nèi)容較多，理論性較強，不能照本宣科，必須細致深入地分析，才能使學(xué)生從整體上理解微分中值定理的基本內(nèi)容、證明方法.預(yù)科學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，理解能力較弱，這給本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)帶來不少困難.為了改變這種局面，根據(jù)民族預(yù)科學(xué)生的基本特點和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等實際情況，我們就微分中值定理的教學(xué)方法進行了有益探索，把教學(xué)重點轉(zhuǎn)移到對公式的幾何直觀剖析和定理的證明方法上，做到簡單易懂，深入淺出，領(lǐng)會定理精髓，在Rolle中值定理的基礎(chǔ)上重點介紹了定理證明的輔助函數(shù)構(gòu)造法，并通過一些典型例題就如何運用輔助函數(shù)構(gòu)造法加以訓(xùn)練，取得較好的課堂教學(xué)效果.

2.從幾何問題引入微分中值定理

2.1觀察幾何問題

如圖1所示，點A、B是連續(xù)曲線y=f（x）上的兩端點，弦A B平行于x軸，除端點外，曲線上每一點都有不垂直于x軸的切線，則該曲線上至少存在一點C，過該點有水平切線，即平行于兩端點A、B的弦.如圖2所示，若連續(xù)曲線y=f（x）在（a，b）內(nèi)的每一點都有不垂直于x軸的切線，則該曲線上至少存在一點C（ξ，f（ξ）），使曲線在該點的切線平行于過曲線兩端點、的弦.如圖3所示，若曲線為：x=g（t），y=f（t），t為參數(shù)，a≤t≤b，在（a，b）內(nèi)的每一點都有不垂直于x軸的切線，則該曲線上至少存在一點C（g（ξ），f（ξ）），使曲線在該點的切線平行于過曲線兩端點A、B的弦.

2.2幾何分析

經(jīng)過幾何觀察，不難看出上述三個幾何圖形有著共同的幾何特征，那就是在曲線上至少存在一條切線平行于兩端點A、B的弦，這三種幾何特征在理論上分別對應(yīng)Rolle中值定理、Lagrange中值定理及Cauchy中值定理，三個微分中值定理正是這一幾何特征在不同條件下分析表述的結(jié)果.

3.從定理的內(nèi)容引入微分中值定理

3.1Rolle中值定理

3.4三大微分中值定理之間的關(guān)系

經(jīng)過直觀的幾何分析和理論推導(dǎo)可知，三個微分中值定理之間不是孤立的，它們有相同的幾何特征，而是相互聯(lián)系的.從定理的條件和結(jié)論看，當(dāng)g（x）=x時，Cauchy中值定理就變?yōu)長agrange中值定理；當(dāng)f（a）=f（b）時，Lagrange中值定理就變?yōu)镽olle中值定理.

4.結(jié)語

初學(xué)者對微分中值定理的理解和證明都感覺很難，通過直觀的幾何分析可加深對定理基本精髓的理解和掌握，通過對定理的證明及例題的講解，使學(xué)生對輔助函數(shù)的構(gòu)造有一個基本思路，不再感到為難，對輔助函數(shù)構(gòu)造法的運用起到較好的鞏固知識的作用，更進一步明確三個微分中值定理有相同的幾何特征，它們之間不是孤立的，而是相互聯(lián)系的，使得對定理的精髓有全面的理解，也起到從幾何直觀出發(fā)運用啟發(fā)式教學(xué)方法解決理論性教學(xué)內(nèi)容的有效作用.

參考文獻：

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[2]四川大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第一冊）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]黃永彪，楊社平.微積分基礎(chǔ)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社.

基金項目：湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革研究項目（湘教通（2015）291號）。