高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維廣度與深度思考

鞏松

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)是借助于數(shù)學(xué)知識(shí)培養(yǎng)學(xué)生思維的過(guò)程，關(guān)注思維的廣度與深度，需要借助于教學(xué)經(jīng)驗(yàn). “正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象”在三角函數(shù)知識(shí)教學(xué)中有承上啟下的作用，以之為例進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生思維廣度與深度的有效途徑.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)教學(xué)；思維廣度；思維深度；正弦函數(shù)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)上是借助數(shù)學(xué)知識(shí)提升學(xué)生思維能力，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的保證，同時(shí)利用數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建來(lái)完善思維的縝密性等. 從教師教學(xué)的角度來(lái)看，研究教學(xué)中思維的廣度與深度，就是抓住了教學(xué)的核心.

北師大版高中數(shù)學(xué)必修四中“正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象”上承三角函數(shù)中的周期現(xiàn)象、角的概念與推廣、弧度制及正弦函數(shù)的定義等知識(shí)，下啟余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正切函數(shù)及三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用等知識(shí)，具有顯著的承上啟下的特征，需要在教學(xué)中高度重視. 根據(jù)筆者的研究，該知識(shí)的教學(xué)如果能夠在思維的廣度與深度上做足文章，那這節(jié)課的教學(xué)就能起到深化原有知識(shí)認(rèn)識(shí)的作用，同時(shí)還能讓學(xué)生在后面的知識(shí)的學(xué)習(xí)中更多地發(fā)揮自己的自主性，從而促進(jìn)自主學(xué)習(xí)更為有效地進(jìn)行. 本文試從如下三個(gè)方面進(jìn)行闡述.

基于教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)思維的廣度與深度分析

思維的廣度與深度一般來(lái)說(shuō)有著嚴(yán)格的學(xué)術(shù)定義，因?yàn)樗季S本身就是教育心理學(xué)研究的重要內(nèi)容，同時(shí)思維也是數(shù)學(xué)教師研究的核心概念之一，關(guān)于思維及其廣度與深度研究的成果可謂是汗牛充棟，但是筆者不想過(guò)多地從學(xué)術(shù)定義的角度來(lái)闡述，而想從教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的角度來(lái)闡述，這樣與實(shí)際教學(xué)的距離可能會(huì)更近一些. 當(dāng)然，筆者會(huì)提醒自己不要經(jīng)驗(yàn)化，或者說(shuō)經(jīng)驗(yàn)性的思維廣度與深度理解不能脫離最基本的思維定義.

在“正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象”這課的教學(xué)中，北師大版的教材以“從單位圓看正弦函數(shù)的性質(zhì)”來(lái)引入，筆者以為這是一個(gè)看似樸實(shí)實(shí)則有著相當(dāng)?shù)膬?nèi)涵的教學(xué)環(huán)節(jié). 教材給出的是一個(gè)單位圓，然后根據(jù)正弦函數(shù)y=sinx的定義，“看出”正弦函數(shù)具有這樣的一些性質(zhì)：1. 正弦函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)；2. 最大值是1，而最小值是-1，值域是[-1，1]；3. 正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其周期是2π；4. 在[0，2π]上單調(diào)性為：在0，上是增加的；在，π上是減少的，在，上是減少的，在，2π是增加的. 然后提出“思考交流”的要求：請(qǐng)根據(jù)正弦函數(shù)的定義，結(jié)合單位圓說(shuō)明正弦函數(shù)具有上述性質(zhì)的理由.

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)充滿了思維的含量，可以從廣度與深度兩個(gè)角度來(lái)分別闡述：從思維的廣度來(lái)看，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在閱讀這段教材的時(shí)候，感覺(jué)相對(duì)比較輕松，也就是說(shuō)并不具有太大的思維難度，畢竟這些性質(zhì)確定可以從單位圓上來(lái)發(fā)現(xiàn)，即使讓學(xué)生結(jié)合單位圓去說(shuō)明這些性質(zhì)的理由，學(xué)生也大致上能夠說(shuō)個(gè)八九不離十. 但筆者將自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)做了一個(gè)對(duì)比，回想自己以前不是通過(guò)這種方式教學(xué)的情形. 以前曾經(jīng)試過(guò)直接提出問(wèn)題，讓學(xué)生從定義域、值域、最大值、最小值、周期性、單調(diào)性等角度，去自主探究正弦函數(shù)的性質(zhì).在這樣的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)之下，學(xué)生的思維表現(xiàn)得與此有著較大的不同，學(xué)生會(huì)花費(fèi)很長(zhǎng)的時(shí)間去探究，這個(gè)探究過(guò)程是有些散亂的，因不同學(xué)生的思維切入口是不同的，有的學(xué)生會(huì)盯著正弦函數(shù)的表達(dá)式去想辦法，有的學(xué)生則嘗試通過(guò)圖象、表格等去探究性質(zhì)，還有的學(xué)生利用特殊值去嘗試發(fā)現(xiàn).

筆者就想：為什么在沒(méi)有提出利用單位圓的情況下，學(xué)生的思維難以不約而同地從單位圓的角度來(lái)思考呢？這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上就是指向了學(xué)生的思維廣度問(wèn)題，一方面學(xué)生的發(fā)散思維表明不同學(xué)生的思維方向是不一樣的，但同時(shí)對(duì)于單位圓的忽視也確實(shí)說(shuō)明了學(xué)生的思維廣度是不夠的，筆者以為只有學(xué)生個(gè)體善于從不同角度對(duì)同一問(wèn)題進(jìn)行思考，才能具有思維的廣度，而在不同思維切入點(diǎn)的對(duì)比中尋找到最佳方案，那才是廣度之上的深度.

在本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)中，從單位圓的角度結(jié)合正弦函數(shù)的定義來(lái)得出正弦函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)當(dāng)是最為簡(jiǎn)潔的方案. 而進(jìn)一步研究教學(xué)經(jīng)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，如果給予學(xué)生足夠的時(shí)間去比較優(yōu)化，或者在教師做出適當(dāng)?shù)年P(guān)于利用單位圓進(jìn)行分析的前提下，學(xué)生就會(huì)自主發(fā)現(xiàn)單位圓在探究正弦函數(shù)性質(zhì)中所能起到的作用. 而這也正是筆者近幾年來(lái)采用的教學(xué)方式，即既不散亂地讓學(xué)生去沒(méi)有方向地尋找探究突破口，也不是直接將單位圓的方法告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生在自主探究的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)教師的適當(dāng)提醒，然后去比較優(yōu)化，以發(fā)現(xiàn)單位圓在此中存在的巨大價(jià)值. 這樣的教學(xué)，實(shí)際上就達(dá)到了一定的思維深度.

實(shí)際教學(xué)中拓寬思維廣度與深度的教學(xué)策略

從以上分析可以看出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)注思維的廣度與深度，是需要講究策略的. 在上一點(diǎn)闡述的基礎(chǔ)上，筆者再做一些梳理.

其一，尊重學(xué)生的自主性，是拓展思維廣度與深度的唯一前提. 在教育中有一句經(jīng)典名言，那就是“如果要將全部教育心理學(xué)歸納成一句話的話，那我將說(shuō)，弄清學(xué)生知道什么并據(jù)此進(jìn)行教學(xué).” 教師如何才能知道學(xué)生已經(jīng)知道了什么呢？筆者以為最佳的途徑就是讓學(xué)生自主去學(xué)習(xí)與探究，在學(xué)習(xí)與探究中暴露出他們的真實(shí)思維，教師一旦對(duì)此有了掌握，那么要拓寬學(xué)生思維的廣度與深度就是相對(duì)容易的事情了. 在“正弦函數(shù)的圖象”教學(xué)，北師大版的教材設(shè)計(jì)讓學(xué)生畫(huà)出[0，2π]上正弦函數(shù)的圖象，然后利用正弦函數(shù)的周期性延伸到整個(gè)定義域上，具體的采用的是列表法，再描點(diǎn)得出圖象. 實(shí)際教學(xué)中，筆者沒(méi)有直接將這些步驟告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生先嘗試自己去尋找方法，事實(shí)上絕大多數(shù)學(xué)生是可以想到圖表法與描點(diǎn)法的，只是少數(shù)學(xué)生忽視了周期性而已，而也正是在此基礎(chǔ)上教師稍加點(diǎn)撥，正弦函數(shù)的周期性性質(zhì)反而可以在學(xué)生的思維中有更為深刻的印象.

其二，尊重學(xué)生的創(chuàng)造性，可有效突破學(xué)生原有的思維范圍與水平.在教材中，為了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)正弦函數(shù)的圖象，教材設(shè)計(jì)在直角坐標(biāo)x軸上的（-1，0）點(diǎn)左側(cè)任作一單位圓（注意與前面單位圓的作用進(jìn)行對(duì)應(yīng)），然后通過(guò)在其上取一些特殊值（16等份），過(guò)各分點(diǎn)作x軸的垂線，于是就得到16個(gè)對(duì)應(yīng)角，把這些角的正弦線向右平移，同樣可以得到正弦函數(shù)的圖象. 這樣的方法在學(xué)生的思維中是沒(méi)有原型的，因而就是一個(gè)拓寬學(xué)生思維廣度與深度的極好機(jī)會(huì). 實(shí)際教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生可以通過(guò)單位圓來(lái)完成正弦函數(shù)圖象的建構(gòu)，同時(shí)也提醒學(xué)生可以借助描點(diǎn)法的思路（描點(diǎn)法實(shí)際上就是利用特殊值的地位借助于圖象平滑的性質(zhì)完成的）. 教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，此時(shí)只要提醒學(xué)生可以將單位圓放到坐標(biāo)系中，往往即可打開(kāi)學(xué)生的思路.事實(shí)上，在學(xué)生探究結(jié)束之后，筆者借助于幾何畫(huà)板制成的動(dòng)畫(huà)，在多媒體中呈現(xiàn)一幅動(dòng)態(tài)的根據(jù)單位圓生成正弦函數(shù)圖象的過(guò)程時(shí)，學(xué)生此前思維中的一些難以銜接的地方迅速連貫，從而在學(xué)生的思維中構(gòu)成一個(gè)完整的、動(dòng)態(tài)的正弦函數(shù)生成的畫(huà)面. 用學(xué)生的話說(shuō)，自己在紙上畫(huà)的圖象是死的，而看到活的圖象之后才感覺(jué)到正弦函數(shù)的圖象是如此的神奇. 學(xué)生有這樣的認(rèn)識(shí)，實(shí)際上就是思維的深度與廣度得到了拓寬.

其三，尊重學(xué)生思維的構(gòu)建性，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)在總結(jié)中拓寬思維. 思維是一個(gè)神奇的東西，不僅體現(xiàn)在學(xué)習(xí)過(guò)程中，也體現(xiàn)在學(xué)習(xí)總結(jié)的過(guò)程中. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)由于應(yīng)試的原因，由于教學(xué)進(jìn)度的原因，很少舍得花時(shí)間給學(xué)生去自行總結(jié)，這實(shí)際上制約了學(xué)生的思維發(fā)展，也導(dǎo)致學(xué)生所認(rèn)知的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是無(wú)窮無(wú)盡地做題目. 事實(shí)上在學(xué)習(xí)過(guò)程中如果讓學(xué)生去注意總結(jié)，那學(xué)生就可以完善自己思維的完整性，可以彌補(bǔ)當(dāng)初思考中的一些不足，從而讓思維能力更強(qiáng)，這實(shí)際上就滿足了思維的深度與廣度的培養(yǎng)要求. 在“正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象”教學(xué)中，筆者讓學(xué)生反思“單位圓在構(gòu)建正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象中的作用”這一問(wèn)題，學(xué)生的思維就圍繞單位圓在其中所起的作用，有效地回憶起了正弦函數(shù)性質(zhì)與圖象的得出過(guò)程，這個(gè)回憶過(guò)程相對(duì)于當(dāng)時(shí)的探究而言，其具有完整性，同時(shí)又借助于單位圓這一個(gè)概念，完成全部知識(shí)的構(gòu)建，實(shí)際上又?jǐn)U大了學(xué)生的建構(gòu)容量. 事實(shí)表明，通過(guò)這樣的總結(jié)，學(xué)生很好地完善了本知識(shí)的結(jié)構(gòu)，同時(shí)也在完善的過(guò)程中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到單位圓所起的作用，這對(duì)之后的余弦、正切等知識(shí)的學(xué)習(xí)也奠定了基礎(chǔ).

培養(yǎng)學(xué)生增加自身思維廣度、深度的學(xué)習(xí)習(xí)慣

學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程嚴(yán)格來(lái)說(shuō)是屬于學(xué)生自己的，教師在其中只起到了輔助、引導(dǎo)的作用，這就意味著包括思維廣度與深度的培養(yǎng)方面，需要著力于引導(dǎo)學(xué)生自己形成相關(guān)的習(xí)慣.

這樣的教學(xué)認(rèn)識(shí)，意味著最關(guān)鍵的一點(diǎn)，就是在教學(xué)中要善于賦予學(xué)生空余時(shí)間，要讓學(xué)生有時(shí)間探究，有時(shí)間反思，有時(shí)間總結(jié). 只有給足了時(shí)間，學(xué)生的思維才有可能在這些時(shí)間中自主打開(kāi)（而不是用這些時(shí)間去完成教師布置的海量的習(xí)題），于是不同學(xué)生個(gè)體可以根據(jù)自己的實(shí)際情況去發(fā)現(xiàn)需要加工的地方. 由于學(xué)生個(gè)體差異性，故在統(tǒng)一賦時(shí)的前提下，不同學(xué)生的思維過(guò)程其實(shí)上是不一樣的，但目標(biāo)又是一樣的，那就是拓寬思維. 只要做到這一點(diǎn)，學(xué)生的思維廣度與深度一定能夠得到培養(yǎng).