一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的反思、變式與應(yīng)用*

●金若翀

(金華市第一中學(xué)　浙江金華　321015)

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一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的反思、變式與應(yīng)用*

●金若翀

(金華市第一中學(xué)浙江金華321015)

摘要：文章從2016年浙江省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第17題出發(fā)，研究過圓錐曲線上任一點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的2條任意直線PA，PB，分別交圓錐曲線于點(diǎn)A，B，則直線AB的斜率為與點(diǎn)P坐標(biāo)有關(guān)的定值問題，并對(duì)該結(jié)論進(jìn)行變式與應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：競(jìng)賽試題;變式結(jié)論;韋達(dá)定理;直線斜率;應(yīng)用

筆者于2016年4月參加了浙江省數(shù)學(xué)競(jìng)賽,其中第17題如下：

1)求橢圓C的方程.

2)過橢圓C的右焦點(diǎn)作斜率為k的直線l，交橢圓C于不同的2個(gè)點(diǎn)A,B，記直線PA,PB的斜率分別為k1,k2.若k1+k2=0，求斜率k.

證明設(shè)PA的斜率為k,則PB的斜率為-k，從而直線PA,PB方程分別為

注意到該一元二次方程的一個(gè)根就是x=c(即點(diǎn)P的橫坐標(biāo))，由韋達(dá)定理知該方程的2根之積是

而點(diǎn)B的橫坐標(biāo)只要用-k去代替點(diǎn)A橫坐標(biāo)中的k就可以得到

因此直線AB的斜率為

于是有如下變式：

證明設(shè)PA的斜率為k,則PB的斜率為-k，從而直線PA，PB的方程分別為

y=k(x-x0)+y0，y=-k(x-x0)+y0.

(b2+a2k2)x2+2a2(y0-kx0)kx+

[a2(y0-kx0)2-a2b2]=0,

注意到該一元二次方程的一個(gè)根就是x=x0(即點(diǎn)P的橫坐標(biāo))，由韋達(dá)定理知該方程的2根之積是

點(diǎn)B的橫坐標(biāo)只要用-k去代替點(diǎn)A橫坐標(biāo)中的k就可以得到

因此直線AB的斜率是

(證明略.)

同樣，對(duì)拋物線，結(jié)論又為如下變式：

ky2-2py+y0(2p-ky0)=0.

筆者發(fā)現(xiàn)，近幾年全國(guó)各地?cái)?shù)學(xué)高考及模擬試題中都有以上變式結(jié)論的應(yīng)用，舉例如下：

1)求橢圓C的方程；

2)E,F是橢圓C上的2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明：直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.

(2009年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

評(píng)注變式1結(jié)論的應(yīng)用.

1)求橢圓C的方程.

(2016年金麗衢十二校第一次理科數(shù)學(xué)聯(lián)考試題第19題)

評(píng)注變式4結(jié)論的應(yīng)用.

修訂日期：*收文日期：2016-04-19；2016-05-19

作者簡(jiǎn)介：金若翀(2000-),男，浙江金華人，高中學(xué)生.

中圖分類號(hào)：O123.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-6407(2016)07-45-03