平面向量基本定理與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系及教學(xué)思考*

●張健　　朱哲

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院　浙江金華　321004)

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平面向量基本定理與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系及教學(xué)思考*

●張健朱哲

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院浙江金華321004)

摘要：平面向量基本定理與高等數(shù)學(xué)之間具有密切的聯(lián)系，在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中應(yīng)該關(guān)注到這種聯(lián)系，滲透高觀點.文章主要討論了平面向量基本定理與高等代數(shù)和高等幾何的聯(lián)系，進而產(chǎn)生了一些教學(xué)思考.

關(guān)鍵詞：平面向量基本定理；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)思考

人教A版《數(shù)學(xué)4(必修)》中專門編排了“平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示”這一內(nèi)容供高中學(xué)生學(xué)習(xí).平面向量基本定理是高中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容，它基于平面向量的線性運算對平面內(nèi)向量的構(gòu)成進行探討，其中蘊含的“基底”思想體現(xiàn)了“化歸”的數(shù)學(xué)思想方法，它也是向量坐標(biāo)表示的依據(jù).另外，平面向量基本定理在處理平面幾何等問題中也具有非常強大的力量.

德國數(shù)學(xué)家克萊因在《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》中認為教師應(yīng)具備較高的數(shù)學(xué)觀點.理由是:觀點越高，事物越顯得簡單[1].在這一思想指導(dǎo)下，筆者試圖采用高觀點去尋找平面向量基本定理與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，并由此引發(fā)一些教學(xué)思考，希望可以對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生一些有益的啟示.

1平面向量基本定理與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系

向量具有豐富的實際背景：幾何背景、物理背景等等，在實際應(yīng)用中十分廣泛.平面向量是從實際背景抽象得到的數(shù)學(xué)對象，運算的引入使得平面向量具有強大的力量.平面向量基本定理刻畫的則是平面內(nèi)向量的構(gòu)成，它與高等數(shù)學(xué)具有密切的聯(lián)系，下面從高等代數(shù)和高等幾何2個角度來討論平面向量基本定理與高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系.

1.1與高等代數(shù)的聯(lián)系

教科書中的平面向量基本定理表述如下：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的2個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有1對實數(shù)λ1,λ2，使得a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2稱為表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底[2].從高等代數(shù)中線性空間的角度來看，這一定理實則是一種特例.

線性空間簡單地說就是一個具有某種代數(shù)結(jié)構(gòu)的集合.給定一個數(shù)域P，設(shè)V是一個非空集合，在集合V中的元素之間定義“加法”運算，在集合V和數(shù)域P之間定義“數(shù)量乘法”運算，并且2種運算滿足一系列的規(guī)則，這樣V就稱為數(shù)域P上的線性空間[3].在線性空間中可以引入線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念來刻畫元素之間的關(guān)系，還可以按照維數(shù)對線性空間進行分類.在有限維的線性空間中可以定義基的概念：在n維線性空間V中，n個線性無關(guān)的向量ε1，ε2，…，εn稱為一組基[3].從這個定義可以得到一個結(jié)論，它與我們的分析緊密相關(guān)，我們把它作為本文的定理1：

定理1對于n維線性空間V中任一向量α，α都可以被基ε1，ε2，…，εn線性表出，即α=a1ε1+a2ε2+…+anεn，并且系數(shù)a1，a2，…，an被向量α和基ε1,ε2,…,εn唯一確定[3].

我們將平面內(nèi)所有向量構(gòu)成的集合記為W，那么W按照向量的加法運算和向量的數(shù)乘運算構(gòu)成一個R上的2維線性空間.在這樣的觀點下，平面內(nèi)2個不共線的向量e1,e2是線性無關(guān)的，因此它們構(gòu)成W的一組基.于是，平面向量基本定理就可以看成是定理1的推論，重新敘述如下：

推論1如果e1,e2是W的一組基，那么對于W中任一向量α，α都可以被基e1,e2線性表出，即α=a1e1+a2e2，并且系數(shù)a1，a2是唯一的.

將推論1與教科書中的平面向量基本定理進行對比就可以發(fā)現(xiàn)：推論1其實就是平面向量基本定理的實質(zhì).如果從更一般的角度去看，定理1才是平面向量基本定理的本質(zhì)，而平面向量基本定理僅僅是定理1在非常特殊的條件下的推論.平面向量基本定理也可以視作是高等定理的一種“下放”，教科書對定理進行了一些“包裝”，使其更易于被學(xué)生理解.比如教科書中略去了集合、線性表出等概念，結(jié)合平面向量的幾何表示試圖從幾何直觀的角度理解平面向量基本定理的內(nèi)容.

定理1中的系數(shù)a1，a2，…，an被稱為向量α在基ε1，ε2，…,εn下的坐標(biāo)，這是抽象意義上的坐標(biāo)概念.從這個角度來看，平面向量基本定理表達式中的系數(shù)λ1，λ2也可以被理解為向量α在基e1，e2下的“坐標(biāo)”.因而，教科書中涉及到的“正交分解”和“坐標(biāo)表示”實質(zhì)是在上述2維線性空間W中選擇了一組特殊的基(標(biāo)準(zhǔn)正交基)，在這組基下對平面向量進行坐標(biāo)表示.

1.2與高等幾何的聯(lián)系

平面向量本身具有豐富的幾何背景，平面向量基本定理在平面幾何當(dāng)中也有許多運用，這引導(dǎo)我們從直觀的角度去尋找平面向量基本定理與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系.高等幾何中的仿射坐標(biāo)系給我們提供了新的角度.

圖1　　　　　圖2

這說明了:平面向量基本定理表達式中的系數(shù)的幾何意義就是仿射坐標(biāo)，相對于高等代數(shù)從抽象意義上的坐標(biāo)概念來解釋其中的系數(shù)，這里的幾何意義更為具體、直觀.平面直角坐標(biāo)系是一種特殊的仿射坐標(biāo)系，從系數(shù)的幾何意義來看，教科書中的“平面向量的坐標(biāo)表示”其實就是平面向量在特殊的仿射坐標(biāo)系下的仿射坐標(biāo)(“基底”的選取要對應(yīng)起來).

教科書中有這么一段提示語：“同一平面可以有不同的基底，就像平面上可選取不同的坐標(biāo)系一樣.”[2]現(xiàn)在，我們對這句話有了更加豐富的理解.

2平面向量基本定理的教學(xué)思考

平面向量基本定理與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系十分密切，在教學(xué)設(shè)計的過程中應(yīng)該看到這些聯(lián)系，站在更高的觀點和更廣的視野去思考平面向量基本定理的教學(xué)，這將有助于加深對平面向量基本定理的理解并拓寬教學(xué)思路，在教學(xué)中滲透高觀點.

2.1平面向量的“分解”與“合成”

在教學(xué)過程中，我們可以從“分解”與“合成”這2個角度對平面向量基本定理進行解讀和反思，這可以幫助學(xué)生加深對這一定理的理解.教科書側(cè)重的是從“分解”的角度來解讀定理，如在探究定理的過程中指出“當(dāng)e1,e2確定后，任意一個向量都可以由這2個向量量化，這為我們研究問題帶來極大的方便.”[2]平面內(nèi)的向量被歸結(jié)為不共線的向量e1,e2，這體現(xiàn)了“化歸”的思想.根據(jù)平面向量基本定理，我們可以對平面內(nèi)的任意一個向量進行分解.

例1如圖3，a和b是平面內(nèi)2個向量，e1,e2和e3,e4是2組基底，通過作圖分解向量：

1)分別在2組基底e1,e2和e3,e4下分解a；

2)在基底e1,e2下分別分解向量a和b.

圖3

學(xué)生通過作圖操作對平面向量的分解進行體驗，為之后學(xué)習(xí)“平面向量的正交分解”作好鋪墊.我們還可以從“合成”的角度來啟發(fā)學(xué)生的思考.

例2e1,e2是平面內(nèi)2個不共線的向量，對于任意實數(shù)λ1,λ2，按照λ1e1+λ2e2組合是否可以得到整個平面內(nèi)的所有向量？用集合的語言描述就是集合{a|a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈R}與{a|a是平面內(nèi)的向量}是否相等？

這個問題可以引發(fā)學(xué)生對于平面內(nèi)向量的構(gòu)成進行更為深入的思考，進一步拓寬視野.

2.2平面向量基本定理與平面直角坐標(biāo)系

平面向量基本定理表達式中的系數(shù)具有明確的幾何意義，即仿射坐標(biāo)，這體現(xiàn)了平面向量基本定理與坐標(biāo)系之間的聯(lián)系.在學(xué)習(xí)完平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示之后，從平面向量的角度去反思平面直角坐標(biāo)系，可以加深對平面直角坐標(biāo)系的理解.

圖4

這個例子說明了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)可以看成是由平面向量基本定理所確定，可以幫助學(xué)生更深入地認識平面直角坐標(biāo)系.

2.3平面向量基本定理與平面向量共線的條件

教材中平面向量共線的條件b=λa可以看成是平面向量基本定理的一維情形.在學(xué)習(xí)完平面向量基本定理之后，可以引導(dǎo)學(xué)生借助平面向量基本定理去反思平面向量共線的條件.

例4在平面向量基本定理的表達式a=λ1e1+λ2e2中，如果將向量a限定在e1方向上，那么λ2=0.于是，式子a=λ1e1+λ2e2就變成a=λ1e1(其中e1≠0)，這即是平面向量共線的條件.

例5如圖5,如果a是直線上的一個非零向量，那么對于直線上的任意向量b，b與a共線.根據(jù)平面向量共線的條件，有且只有1個實數(shù)λ，使得b=λa，其中a可以看成是表示這一直線上所有向量的一個基底.

圖5　　　　　　圖6

這2個例子將平面向量基本定理與平面向量共線的條件聯(lián)系起來，使學(xué)生對平面向量共線的條件產(chǎn)生新的認識.更進一步，我們還可以將它們與數(shù)軸聯(lián)系起來，從而更深刻地認識數(shù)軸.

在教學(xué)過程中，將平面向量基本定理與平面直角坐標(biāo)系、數(shù)軸、平面向量共線的條件等知識聯(lián)系在一起，可以讓學(xué)生經(jīng)歷從新的角度去理解舊知識的學(xué)習(xí)過程，充分感受數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系.

高中數(shù)學(xué)不僅僅要為學(xué)生提供扎實的數(shù)學(xué)知識和技能，還要為學(xué)生進入大學(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ).這要求教師要用更長遠的眼光來進行教學(xué)，在教學(xué)中不僅僅要重視知識的來源和產(chǎn)生過程，還要關(guān)注知識的發(fā)展和延伸，為今后進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積累材料.平面向量基本定理體現(xiàn)的“基底”思想在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中是第一次出現(xiàn)，在高中數(shù)學(xué)中具有重要的地位，而從長遠來看它則為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提供了初等的例子.因此，在教學(xué)該定理的過程中不僅僅要重視定理的探究過程，還要關(guān)注該定理與高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生進行更深入地思考.

高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間具有密切的聯(lián)系，數(shù)學(xué)教師不應(yīng)該僅僅停留在初等數(shù)學(xué)層次去進行教學(xué)，而應(yīng)該用更高的觀點去看待高中的數(shù)學(xué)知識，善用高觀點把握和理解教材，從而在更加廣闊的視野中理解高中數(shù)學(xué)，并“居高臨下”地進行教學(xué).

參考文獻

[1]吳大任.博洽內(nèi)容獨特風(fēng)格——介紹克萊因:高觀點下的初等數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報,1989(6):17-20.

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[5]梅向明,劉增賢,王匯淳,等.高等幾何[M].3版.北京：高等教育出版社,2008.

修訂日期：*收文日期：2016-03-14；2016-04-28

作者簡介：張健(1993-)，男，浙江溫州人，碩士研究生.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

中圖分類號：O123.1

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)07-30-03