由錯例引發(fā)的思考*
——離心率與橢圓上的點對焦點張角關(guān)系探討

●冀建軍　劉珍亞

(西關(guān)中學(xué)　陜西洛南　726100)

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由錯例引發(fā)的思考*
——離心率與橢圓上的點對焦點張角關(guān)系探討

●冀建軍劉珍亞

(西關(guān)中學(xué)陜西洛南726100)

摘要：在解題過程中,反思解題所用知識、方法、數(shù)學(xué)思想、知識與方法的聯(lián)系，反思解題有無科學(xué)性問題，有無邏輯性漏洞，并進行變式、推廣，對提煉問題的本質(zhì)、尋找解題規(guī)律達(dá)到多題一解有重要意義.文章通過錯例分析，探究離心率與橢圓上的點對焦點張角大小的關(guān)系，解決橢圓上的點P對焦點的張角問題先判斷離心率的大小，形成“由形思數(shù)”“由數(shù)思形”的思維模式.

關(guān)鍵詞：離心率;橢圓;點對焦點張角;關(guān)系探討

解析幾何謂之幾何，應(yīng)當(dāng)重視對圖形幾何特征的分析.數(shù)形結(jié)合是解析幾何學(xué)科的基本特征，坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法[1].在將幾何問題化歸成代數(shù)問題時，要重視“由形思數(shù)”“由數(shù)思形”的思維模式，首先分析圖形幾何要素特征.本文以一個橢圓焦點三角形錯題錯解案例，反思錯因,尋求問題的本質(zhì)，從源頭防范此類錯題錯解，對形成解題反思習(xí)慣、培養(yǎng)縝密思維、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)有一定價值.

1案例再現(xiàn)

()

4c2=m2+n2-2mncos120°，

即

m2+n2+mn=1,

式(1)2-式(2)解得mn=224,

從而△F1PF2的面積為

設(shè)△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為r，則

2錯因分析

此題以橢圓上的點對焦點張角為載體，從考查橢圓的定義、橢圓的簡單性質(zhì)、三角形面積公式、正余弦定理、內(nèi)切圓等知識看，不失為一個好題目.此題解法采用整體思想處理，看似天衣無縫，干脆利落，解法簡捷，使人賞心悅目，但屬于錯題錯解，錯得自然且隱蔽.

思考1從不同角度分析點P的不存在性

運用方程思想，根據(jù)橢圓定義及余弦定理演繹出方程組

轉(zhuǎn)化成方程m2-15m+224=0.

思考2既然點P不存在，為什么能推出mn=224呢？

3結(jié)論探究

從而

圖1　　　　　　　　圖2

圖3 　　　　　　　　圖4

當(dāng)cy2；當(dāng)c=b時，y1≥y2，當(dāng)且僅當(dāng)x0=0時,y1=y2；當(dāng)c>b時，y1,y2的大小關(guān)系不定.由橢圓圖形對稱性知當(dāng)cb時,橢圓E與⊙O關(guān)系分別如圖2、圖3、圖4所示.

()

數(shù)學(xué)離不開解題.在解題過程中反思所用知識、方法、數(shù)學(xué)思想、知識與方法的聯(lián)系，反思解題有無科學(xué)性問題，有無邏輯性漏洞.對題設(shè)和結(jié)論進行變式，對問題進行一般性推廣，將會提煉出問題的本質(zhì)，尋找解題規(guī)律及解陌生題的指導(dǎo)信息.這正是羅增儒教授提出的解題觀念：“誰也無法教會我們解所有的題目，重要的是，通過有限道題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種解無限道題的數(shù)學(xué)機智.”[3]

參考文獻

[1]陳柏良．慢下來才會有“風(fēng)景”[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬，2015(7)：24．

[2]吳寶瑩．做個有心人——談?wù)勎业臄?shù)學(xué)論文寫作[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬，2013(12)：58-60．

[3]羅增儒．沖關(guān)985大學(xué)：手把手教你解高中數(shù)學(xué)題[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2015．

修訂日期：*收文日期：2016-03-14；2016-04-26

作者簡介：冀建軍(1969-)，男，陜西洛南人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

中圖分類號：O123.1

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)07-33-03