二次遞推型數(shù)列試題的內(nèi)涵與常用解決方法*

●許　仲

(天臺(tái)中學(xué)　浙江天臺(tái)　317200)

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二次遞推型數(shù)列試題的內(nèi)涵與常用解決方法*

●許仲

(天臺(tái)中學(xué)浙江天臺(tái)317200)

摘要：以一元二次函數(shù)為依托、以遞推為手段給出的數(shù)列，一般都是利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一次函數(shù)y=x的相對(duì)位置關(guān)系構(gòu)造試題.解決此類(lèi)試題的主要技巧是變形，包括因式分解變形、配方變形、倒數(shù)變形、分式型裂項(xiàng)變形等.若含有和式，則通項(xiàng)往往隱含在遞推關(guān)系式中，需要通過(guò)變形進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

關(guān)鍵詞：遞推數(shù)列;二次函數(shù);變形技巧

2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題的壓軸題就是此類(lèi)型的試題.根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在平時(shí)教學(xué)中經(jīng)常會(huì)接觸到該類(lèi)試題，因此，研究它的內(nèi)涵與解決方法是十分必要的．

1二次遞推型數(shù)列的內(nèi)涵

此類(lèi)數(shù)列是以二次函數(shù)圖像、性質(zhì)等為背景，以遞推為手段給出的.命題者在構(gòu)造時(shí)，依據(jù)的就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一次函數(shù)y=x的相對(duì)位置關(guān)系．

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

1.1命題背景分析

圖1

1.2證明過(guò)程

證明1)由題意得

即

an+1≤an，

從而

又由an=(1-an-1)an-1得an=(1-an-1)(1-an-2)(1-an-3)…(1-a1)a1>0，從而

這樣，可以得到

2)由題意可得

由累加法得

Sn=a1-an+1.

根據(jù)題設(shè)條件知

即

因此，由累加法得

即

結(jié)合Sn=a1-an+1得

2二次遞推型數(shù)列常用的變形技巧

首先要注意遞推式所依托的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的有關(guān)性質(zhì)，如開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)和經(jīng)過(guò)的一些特殊點(diǎn)、在定義范圍內(nèi)的單調(diào)性與凹凸性，還有與一次函數(shù)y=x的相對(duì)位置關(guān)系等．

解決此類(lèi)型數(shù)列相關(guān)問(wèn)題的技巧有：因式分解變形、配方變形、倒數(shù)變形、分式型裂項(xiàng)變形等[2-3]．

回顧例1的解決過(guò)程，上面的變形方法都已經(jīng)涉及到了．現(xiàn)在一起來(lái)領(lǐng)略下面例題的解決過(guò)程．

1)求證：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；

(2015年浙江省臺(tái)州市高一第2學(xué)期數(shù)學(xué)統(tǒng)考試題)

2.1命題背景分析

圖2

2.1證明過(guò)程

1)證法1對(duì)于任意n，有

由題設(shè)條件an>2得

an+1-an>0，

即數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．

結(jié)合an>2可得an+2-an+1與an+1-an符號(hào)一致.這樣，由歸納可知:an+2-an+1的符號(hào)取決于a2-a1的符號(hào)，而

從而數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．

評(píng)注由以上解決過(guò)程發(fā)現(xiàn)：例2的條件可以減少，由an>2變?yōu)閍1>2就可以了．

2)證明由a1=3，得b1=1.由an+1-2=(an+2)(an-2)，知

3二次遞推型數(shù)列的求和技巧

關(guān)于數(shù)列求和，平時(shí)學(xué)習(xí)的方法很多，主要有公式法、分組求和法、轉(zhuǎn)化為等差(等比)等基本數(shù)列求和法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等，其中后2種方法在此類(lèi)數(shù)列中應(yīng)用較多．

在二次遞推型數(shù)列中，和式的通項(xiàng)往往隱含在遞推關(guān)系式里，需要依賴(lài)第2部分的變形技巧凸顯、轉(zhuǎn)化出來(lái)，方法可參考例1和例2的解決過(guò)程．

當(dāng)然，在此類(lèi)型的數(shù)列中，有些變形、轉(zhuǎn)化后的項(xiàng)還是無(wú)法直接求和，或者題目需要證明和式小于或大于一個(gè)式子(如例2)，此時(shí)放大或縮小的技巧轉(zhuǎn)化為“先求和，然后對(duì)和式進(jìn)行放大或縮小處理”．

即

(這是一個(gè)實(shí)質(zhì)性的發(fā)現(xiàn)，它使得目標(biāo)和式可以求和了),亦即

這樣，當(dāng)n>3時(shí)，

an-an-1>an-1-an-2，

an-1-an-2>an-2-an-3，

…

a3-a2>a2-a1，

a2-a1=a2-a1，

得

即

從而

即

參考文獻(xiàn)

[1]盧明.穩(wěn)中求變體現(xiàn)創(chuàng)新[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(8)：21-25.

[2]汪葉清，褚人統(tǒng).對(duì)常用的復(fù)雜數(shù)列通項(xiàng)公式遞推數(shù)列類(lèi)型的探究(上)[J]．中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2011(3):38-40．

[3]汪葉清，褚人統(tǒng).對(duì)常用的復(fù)雜數(shù)列通項(xiàng)公式遞推數(shù)列類(lèi)型的探究(下)[J]．中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2011(4)：35-36.

修訂日期：*收文日期：2016-02-01；2016-03-28

作者簡(jiǎn)介：許仲(1979-),男,浙江天臺(tái)人,中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

中圖分類(lèi)號(hào)：O122

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-6407(2016)07-39-03