規(guī)律探索型試題解法探究

孫霞

規(guī)律探索型試題是根據(jù)已知條件中所提供的若干特例，通過(guò)觀察與猜想、類比與分析、探索與歸納，發(fā)現(xiàn)題目所蘊(yùn)涵的數(shù)字或圖形的本質(zhì)規(guī)律與特征的一類探索性問(wèn)題.這類問(wèn)題在素材的選取、文字的表述、題型的設(shè)計(jì)等方面都令人耳目一新.規(guī)律探索型問(wèn)題涉及知識(shí)面廣，形式靈活多樣，尤其突出了對(duì)考生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題、探究與創(chuàng)新能力的考查，備受各地中考命題者的青睞，解答這類題目，不僅要求考生具備扎實(shí)、全面的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，而且要有較強(qiáng)的觀察思考、推理探究、演繹歸納能力.該類試題主要類型有數(shù)字型、代數(shù)式型、幾何變換型、排列型等.現(xiàn)舉例分析如下.

一、數(shù)字型

例1請(qǐng)觀察下面幾組數(shù)：1，3，5，7，9，11，13，15……2，5，8，11，14，17，20，23……7，13，19，25，31，37，43，49……這三組數(shù)具有共同的特點(diǎn).現(xiàn)在有上述特點(diǎn)的一組數(shù)，第一個(gè)數(shù)是3，第三個(gè)數(shù)是11，則其第n個(gè)數(shù)為（）.

A.8n-5B.n2+2

C.4n-1D.2n2-4n+5

解題策略：先探索各組中數(shù)與數(shù)之間存在的和、差、倍、分等規(guī)律性的關(guān)系，進(jìn)而確定三組數(shù)存有的共同特點(diǎn)，并據(jù)此構(gòu)造符合條件的新數(shù)組，最后根據(jù)數(shù)字與其序號(hào)的關(guān)系表示出第n個(gè)數(shù).

解：第一組每相鄰的兩個(gè)數(shù)相差2，第二組每相鄰的兩個(gè)數(shù)相差3，第三組每相鄰的兩個(gè)數(shù)相差6，即這三組數(shù)具有的共同特點(diǎn)是：各組中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差均相等.故新數(shù)組相鄰數(shù)字的差為（11-3）÷2=4，則第一個(gè)數(shù)3=4×1-1，第2個(gè)數(shù)7=4×2-1，第3個(gè)數(shù)11=4×3-1……故第n個(gè)數(shù)為4n-1.

二、代數(shù)式型

例2還記得高斯快算整數(shù)加法的故事嗎？對(duì)于1+2+3+…+100，我們可以將其再寫成100+99+98+…+1，然后兩式相加便可以達(dá)到均衡配置，由（100+1）×100×12獲得結(jié)果.對(duì)于12+22+32+…+1002，我們可以把12看成1+1相加，22可看成2個(gè)2相加，32可看成3個(gè)3相加……于是12+22+32+…+1002可以看成如圖1中所有數(shù)字之和，再把它變換數(shù)字位置分別得到如圖2、如圖3，這樣每個(gè)位置上的三個(gè)數(shù)字之和也達(dá)到了均衡配置.請(qǐng)你根據(jù)圖中的規(guī)律，計(jì)算12+22+32+…+1002的結(jié)果.

解題策略：閱讀題目所給的計(jì)算方法，把各數(shù)組通過(guò)疊加轉(zhuǎn)化成乘法運(yùn)算，除以3后，即為所求算式的結(jié)果.

解：根據(jù)題意所述方法與規(guī)律，發(fā)現(xiàn)三個(gè)圖中每個(gè)對(duì)應(yīng)位置處的三個(gè)數(shù)字之和均為201，且對(duì)應(yīng)位置為（1+2+3+4+…+100）個(gè)，于是12+22+32+…+1002=201×（1+2+3+…+100）×13=201×5050×13=338350.

三、幾何變換型

例3用正三角形、正四邊形和正六邊形按如圖4的規(guī)律拼圖案，即從第二個(gè)圖案開始，每個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)都比前一個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)多4個(gè).則第個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）.

解題策略：該類問(wèn)題常見(jiàn)的解法有三種，一是根據(jù)幾何圖形的變換規(guī)律直接求解；二是數(shù)一數(shù)各圖案中所指圖形的具體個(gè)數(shù)，把圖形規(guī)律轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律求解；三是借助函數(shù)知識(shí)求解.解略.

四、排列型

例4如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)橫坐標(biāo)分別為整數(shù)的點(diǎn)，其順序按圖中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）……根據(jù)這個(gè)規(guī)律，第2014個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

解題策略：結(jié)合圖形，從特殊點(diǎn)入手，如個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)的點(diǎn)具有規(guī)律性，并根據(jù)規(guī)律，找出與2014最接近的完全平方數(shù)，再根據(jù)箭頭走向即可推測(cè)出第2014個(gè)點(diǎn)的具體坐標(biāo).解略.