運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題例說(shuō)

翟恩勇

數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的一種結(jié)果.它是數(shù)學(xué)中處理問(wèn)題的基本觀點(diǎn)與策略，是對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法本質(zhì)的概括.掌握數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生提高解決問(wèn)題的能力.

一、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是指在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)某種方式與手段將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于求解的問(wèn)題，將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題.

例1解方程：x-2x+3-3x-3=1.

解析：解分式方程的基本思想就是轉(zhuǎn)化，即通過(guò)去分母把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.去分母，得（x-2）（x-3）-3（x+3）=（x+3）（x-3）.整理，得-8x=-6.解得x=34.檢驗(yàn)：當(dāng)x=34時(shí)，（x+3）（x-3）≠0.所以x=34是原方程的解.

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指在研究問(wèn)題的過(guò)程中，由數(shù)思形、以形助數(shù)，把數(shù)與形結(jié)合起來(lái)分析問(wèn)題的一種思想方法.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題，可使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題直觀化.

例2如圖1，C為線(xiàn)段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC.已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x.（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng).（2）點(diǎn)C滿(mǎn)足什么條件時(shí)，AC+CE的值最??？（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式x2+4+（12-x）2+9的最小值.

解析：（3）中要求把（1）（2）中的數(shù)與形相結(jié)合，然后利用圖形特征幫助求解二次根式的最值，起到了化繁為簡(jiǎn)，化難為易的作用.（1）運(yùn)用勾股定理，易得AC+CE=（8-x）2+25+x2+1.（2）根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”的性質(zhì)可知，當(dāng)A、C、E三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上時(shí)，AC+CE的值最小.（3）如圖2，畫(huà)線(xiàn)段BD=12，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，使AB=3，ED=2，連接AE交BD于點(diǎn)C.AE的長(zhǎng)即為代數(shù)式x2+4+（12-x）2+9的最小值.過(guò)點(diǎn)A作AF∥BD，交ED的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，得矩形ABDF， 則DF=AB=3，AF=BD=12.所以AE=122+（3+2）2=13， 即x2+4+（12-x）2+9的最小值為13.

三、方程與函數(shù)思想

所謂方程思想，是指對(duì)所要求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建方程（組），通過(guò)解方程（組）使問(wèn)題獲解的思維方式. 函數(shù)思想，是指運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，把問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系用函數(shù)的形式表示出來(lái)，應(yīng)用函數(shù)知識(shí)進(jìn)行分析與研究，使問(wèn)題獲解的思維方法.

例3某超市在“端午節(jié)”來(lái)臨前，購(gòu)進(jìn)一種品牌粽子，每盒進(jìn)價(jià)是40元，超市規(guī)定每盒售價(jià)不得少于45元.根據(jù)以往銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)定為每盒45元時(shí)，每天可賣(mài)出700盒，每盒售價(jià)每提高1元，每天要少賣(mài)出20盒.（1）試求出每天的銷(xiāo)售量 y（盒）與每盒售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式.（2）當(dāng)每盒售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷(xiāo)售的利潤(rùn) P（元）最大？最大利潤(rùn)是多少？（3）為穩(wěn)定物價(jià)，有關(guān)管理部門(mén)限定：這種粽子的每盒售價(jià)不得高于58元.如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤(rùn)，那么超市每天至少銷(xiāo)售粽子多少盒？

解析：（1）根據(jù)題意，得y=700-20（x-45）=-20x+1600.（2）P=（x-40）（-20x+1600）=-20x2+2400x-64000=-20（x-60）2+8000.因?yàn)閤≥45，a=-20<0，所以當(dāng)x=60 時(shí)，P最大值=8000（元）.即當(dāng)每盒售價(jià)定為60元時(shí)，每天銷(xiāo)售的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為8000元.（3）由題意，得-20（x-60）2+8000=6000.解這個(gè)方程，得x1=50，x2=70.因?yàn)閽佄锞€(xiàn)P=-20（x-60）2+8000的開(kāi)口向下，所以當(dāng)50≤x≤70 時(shí)，每天銷(xiāo)售粽子的利潤(rùn)不低于6000 元.又因?yàn)閤≤58，所以50≤x≤58.因?yàn)樵趛=-20x+1600 中，k=-20<0，所以y 隨x的增大而減小.所以當(dāng)x=58 時(shí)，y最小值=-20×58+1600=440，即超市每天至少銷(xiāo)售粽子440盒.

四、分類(lèi)討論思想

當(dāng)被研究的問(wèn)題包含多種情況，又不能一概而論時(shí)，必須按出現(xiàn)的所有情況來(lái)分別討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論.這種處理問(wèn)題的思維方式就是分類(lèi)討論思想.分類(lèi)時(shí)不重復(fù)、不遺漏，是分類(lèi)討論的基本要求.