運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題例說

翟恩勇

數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的一種結(jié)果.它是數(shù)學(xué)中處理問題的基本觀點(diǎn)與策略，是對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本方法本質(zhì)的概括.掌握數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生提高解決問題的能力.

一、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是指在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過某種方式與手段將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題轉(zhuǎn)化為易于求解的問題，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題.

例1解方程：x-2x+3-3x-3=1.

解析：解分式方程的基本思想就是轉(zhuǎn)化，即通過去分母把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.去分母，得（x-2）（x-3）-3（x+3）=（x+3）（x-3）.整理，得-8x=-6.解得x=34.檢驗(yàn)：當(dāng)x=34時(shí)，（x+3）（x-3）≠0.所以x=34是原方程的解.

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指在研究問題的過程中，由數(shù)思形、以形助數(shù)，把數(shù)與形結(jié)合起來分析問題的一種思想方法.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題，可使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題直觀化.

例2如圖1，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC.已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x.（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長.（2）點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最??？（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式x2+4+（12-x）2+9的最小值.

解析：（3）中要求把（1）（2）中的數(shù)與形相結(jié)合，然后利用圖形特征幫助求解二次根式的最值，起到了化繁為簡，化難為易的作用.（1）運(yùn)用勾股定理，易得AC+CE=（8-x）2+25+x2+1.（2）根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”的性質(zhì)可知，當(dāng)A、C、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，AC+CE的值最小.（3）如圖2，畫線段BD=12，分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，使AB=3，ED=2，連接AE交BD于點(diǎn)C.AE的長即為代數(shù)式x2+4+（12-x）2+9的最小值.過點(diǎn)A作AF∥BD，交ED的延長線于點(diǎn)F，得矩形ABDF， 則DF=AB=3，AF=BD=12.所以AE=122+（3+2）2=13， 即x2+4+（12-x）2+9的最小值為13.

三、方程與函數(shù)思想

所謂方程思想，是指對所要求解的數(shù)學(xué)問題，利用已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建方程（組），通過解方程（組）使問題獲解的思維方式. 函數(shù)思想，是指運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，把問題中的數(shù)量關(guān)系用函數(shù)的形式表示出來，應(yīng)用函數(shù)知識進(jìn)行分析與研究，使問題獲解的思維方法.

例3某超市在“端午節(jié)”來臨前，購進(jìn)一種品牌粽子，每盒進(jìn)價(jià)是40元，超市規(guī)定每盒售價(jià)不得少于45元.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)定為每盒45元時(shí)，每天可賣出700盒，每盒售價(jià)每提高1元，每天要少賣出20盒.（1）試求出每天的銷售量 y（盒）與每盒售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式.（2）當(dāng)每盒售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售的利潤 P（元）最大？最大利潤是多少？（3）為穩(wěn)定物價(jià)，有關(guān)管理部門限定：這種粽子的每盒售價(jià)不得高于58元.如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤，那么超市每天至少銷售粽子多少盒？

解析：（1）根據(jù)題意，得y=700-20（x-45）=-20x+1600.（2）P=（x-40）（-20x+1600）=-20x2+2400x-64000=-20（x-60）2+8000.因?yàn)閤≥45，a=-20<0，所以當(dāng)x=60 時(shí)，P最大值=8000（元）.即當(dāng)每盒售價(jià)定為60元時(shí)，每天銷售的利潤最大，最大利潤為8000元.（3）由題意，得-20（x-60）2+8000=6000.解這個(gè)方程，得x1=50，x2=70.因?yàn)閽佄锞€P=-20（x-60）2+8000的開口向下，所以當(dāng)50≤x≤70 時(shí)，每天銷售粽子的利潤不低于6000 元.又因?yàn)閤≤58，所以50≤x≤58.因?yàn)樵趛=-20x+1600 中，k=-20<0，所以y 隨x的增大而減小.所以當(dāng)x=58 時(shí)，y最小值=-20×58+1600=440，即超市每天至少銷售粽子440盒.

四、分類討論思想

當(dāng)被研究的問題包含多種情況，又不能一概而論時(shí)，必須按出現(xiàn)的所有情況來分別討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論.這種處理問題的思維方式就是分類討論思想.分類時(shí)不重復(fù)、不遺漏，是分類討論的基本要求.