賦值法解題探究

王翠翠

【摘 ? ?要】在實際的考試過程中，由于數(shù)學標準化試題中選擇題和填空題所占的比例非常高，而這兩種題型有其特殊性，就是在有些問題的推理中不要求有嚴密的證明，而只要能借助于一些特殊方法特別是賦予確定的特殊值（如0，1，-1等），或是取變量賦變量，從而寫出正確結(jié)果即可，這種迅速、準確、簡捷的解題方法就是所謂的賦值法。下面，筆者根據(jù)學習及實踐經(jīng)驗，對賦值法在高中數(shù)學中的應(yīng)用做一簡單的探究。

【關(guān)鍵詞】賦值法 ?解題

一、賦值法在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)在數(shù)學中所占的比重非常大，題型變化也較為靈活，利用賦值法解函數(shù)，可以使一些復(fù)雜問題簡單化。

1、當解析式中f（x）和f（-x）同時出現(xiàn)類型習題，常常用-x賦值于x

例如求解析式：若f（x）+2f（-x）=-x，則f（-x）=____________

分析：-x賦f（x）+2f（-x）=-x，中的x。于是有

由得

2、解析式中若出現(xiàn)f（x+y）和f（x），f（y），可令x=y=0。

例如：證明問題：設(shè)函數(shù)的定義域為R，當x>0時，且對任意x，yR都有求證：。

分析與解答：令x=y=0，則f（0+0）=f（0）f（0），即f（0）=f（0）2，解得f（0）=0或f（0）=1假設(shè)f（0）=0則對任意xR有f（x）=f（0+x）=f（0）f（x）=0這與已知矛盾。故f（0）=1

3、根據(jù)從一般到特殊的原則，賦值于特殊函數(shù)法

例如求解關(guān)于對稱問題：設(shè)函數(shù)y=f（x）定義在R上，則函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于_______________對稱。

A.直線y =0 ? ? ? B.直線x =0

C.直線y =1 ? ? ? D.直線x =1

分析：令f（x）=x2，則f（x-1）=（x-1）2，f（1-x）=（x-1）2

此時，兩函數(shù)的圖象重合，且關(guān)于直線x=1對稱。所以選（D）

4、在解決函數(shù)求值時，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意及條件中函數(shù)的性質(zhì)，特殊變量賦值于變量，這樣解題時會有事半功倍的效果。

例如：已知定義在R上的二次函數(shù)的值域為且g（x）=（x+2）f（x）求f（2）=____________________

分析：由已知，令x=-2，則有g(shù)（-2）=0從而有4-2b+c=0得到關(guān)于b，c的另一式子，從而可解。

5、當遇到變量a∈R或x，賦值a或x于特殊值0，會使整個問題迎刃而解。

例如、當a∈R時，關(guān)于x，y的方程x2+y2+x+y-a（x+2y+1）=0表示的曲線是軸對稱圖形，則它們的公共對稱軸方程是

（）。

A. x+2y+1=0 ? ? B. 4x+2y+1=0

C. 4x-2y+1=0 ? ? ? D. 2x-4y+1=0

略解：既然上述對稱軸對一切a∈R都成立，不妨令a=0，則方程變?yōu)閤2+y2+x+y=0，即，此曲線為圓，圓心坐標為，只適合于C，故答案為C。

又例如、當x時函數(shù)f（x）=（x+a）3滿足f（x+1）=-f（1-x），則f（2）+f（-3）=__________。

略解：因為f（x+1）=-f（1-x）對一切x∈R都成立，當然可以把x+1和1-x分別代入函數(shù)關(guān)系式得：（x+1+a）3=（1-x+a）3，化簡后得到a的值。然而既然f（x+1）=-f（1-x）對一切x∈R都成立，不妨令x=0，可得f（1）=0，代入原函數(shù)關(guān)系可得a=-1，即f（x）=（x-1）3，故f（2）+f（-3）=-63。

6、判斷函數(shù)的奇偶性也可以利用賦值法

例如設(shè)f（x）的定義域為R，且f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），求證：f（0）≠0時，f（x）是偶函數(shù)。

分析：函數(shù)奇、偶性的判斷，根據(jù)定義須在關(guān)于原點對稱的定義域中來判斷f（-x）與f（x）或-f（x）的關(guān)系。

證法：令x=y=0，則f（0）=1，賦x=0，y=x，則有：f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），即f（-x）=f（x），所以f（x）為偶函數(shù)。

二、賦值法在數(shù)列中的應(yīng)用

根據(jù)具體數(shù)列的性質(zhì)，合理選取特殊值，能簡化解題過程，快而準確的得出答案。

例1、有兩個等差數(shù)列且，求。

略解：令n=10，則有

例2、△ABC中，角A，B，C依次成等差數(shù)列，則a+c與2b的大小是（）

A. a+c<2b B. a+c>2b

C. a+c≥2b D. a+c≤2b

略解：題中沒有給定三角形的形狀，不妨令A(yù)=B=C=60°，則可排除A、B，再取角A，B，C分別為30°，60°，90°，可排除C，故答案為D。

三、賦值法在三角函數(shù)中的應(yīng)用

根據(jù)題中條件，注意選擇特殊的值。

例如：如果函數(shù)y=f（x）=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=對稱，那么a=__________。

略解：取x=0及x=，則f（0）=f（），即a=-1。

四、賦值法在二項展開式中的應(yīng)用

此法在課本二項式定理性質(zhì)一節(jié)提到，且課后有練習，應(yīng)引起重視。

例如：若（2x-1）5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，則|a0|+ |a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值為__________。

略解：由二項式定理易知a1，a3，a5為負值，a0，a2，a4為正值。令x=-1有 （-3）5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5所以|a0|+|a1|+ |a2| +|a3|+|a4|+|a5|=|（-3）5|=243

綜上所述，在數(shù)學解題過程中，賦值法的應(yīng)用非常廣泛，但應(yīng)用前提是一定要透徹掌握全面的數(shù)學知識，準確把握題中所給的具體條件，才能合理的選取所賦予的值。同時，我們更強調(diào)要將賦值法與排除法、檢驗法相結(jié)合運用，那么它的正確性、合理性、迅速性、有效性將更加突出。