應(yīng)用型本科線性代數(shù)教學(xué)模式的探索與實(shí)踐
——MATLAB在解方程組中的應(yīng)用

孫　健，王翠芳（天津中德應(yīng)用技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)課部，天津300350）

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應(yīng)用型本科線性代數(shù)教學(xué)模式的探索與實(shí)踐
——MATLAB在解方程組中的應(yīng)用

孫健，王翠芳
（天津中德應(yīng)用技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)課部，天津300350）

摘要：結(jié)合應(yīng)用型本科教學(xué)的特點(diǎn)，嘗試將MATLAB軟件引入到線性代數(shù)課程方程組求解的教學(xué)中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生參與度，達(dá)到學(xué)有所用，學(xué)以致用的目的。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用型本科；MATLAB；線性代數(shù)；方程組的解

此文為天津中德技術(shù)學(xué)院（原）2015校級(jí)教學(xué)改革與建設(shè)項(xiàng)目“線性代數(shù)精品課程建設(shè)的研究與實(shí)踐”（ZDJY2015-20）和天津中德職業(yè)技術(shù)學(xué)院（原）2015校級(jí)項(xiàng)目“應(yīng)用型本科院校線性代數(shù)課程建設(shè)探索”（zdkt2015-019）的研究成果。

2014年教育部頒布了關(guān)于地方本科高校轉(zhuǎn)型發(fā)展的指導(dǎo)意見（征求意見稿），標(biāo)志著中國(guó)部分本科高校向應(yīng)用型本科院校轉(zhuǎn)型的開始，隨著示范點(diǎn)的不斷增多，作為工程學(xué)的核心數(shù)學(xué)課程線性代數(shù)也面臨著教學(xué)的調(diào)整和改革，改革的方式一般是加入更多的教學(xué)輔助工具，思路通常是將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入線性代數(shù)課程的教學(xué)過程，再結(jié)合一些數(shù)學(xué)軟件的使用，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)理論知識(shí)的同時(shí)，掌握一門實(shí)用工具，進(jìn)而體現(xiàn)出應(yīng)用型本科院校本科生以“應(yīng)用為驅(qū)動(dòng)，學(xué)生為主導(dǎo)”的特點(diǎn)。

在眾多的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件中，MATLAB以其理論簡(jiǎn)單、方便實(shí)用、易于編程等特點(diǎn)受到廣大師生的推崇，特別是近些年來隨著全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模的飛速發(fā)展，更是將MATLAB學(xué)習(xí)熱情推向了高潮。因此將MATLAB引入線性代數(shù)的教學(xué)中已經(jīng)成為應(yīng)用型本高校線性代數(shù)教學(xué)課程改革的一種趨勢(shì)，既能加深學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的理解，又突出該學(xué)科與數(shù)學(xué)建模、微分方程、數(shù)值優(yōu)化等課程的聯(lián)系，提高學(xué)生的參與度，激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情，達(dá)到“學(xué)有所用，學(xué)以致用”的教學(xué)理念。

一、軟件的相關(guān)命令

表1　常用的軟件命令表

二、MATLAB軟件在方程組求解中的應(yīng)用

（一）MTALAB在齊次方程組求解的應(yīng)用

解:在MTALAB命令窗口輸入程序:

A=［1 -1 0 2 -2；1 0 1 2 0；1 1 -1 1 -1；1 2 0 0 -2］；

r=rank（A），%求系數(shù)矩陣的秩

y=null（A，1r1）%求齊次方程組的基礎(chǔ)解系

output:r=4，y=（6 -2 0 -3 1）T

結(jié)果分析:（1）系數(shù)矩陣的秩rank（A）=4＜5（未知數(shù)的個(gè)數(shù)），說明該齊次方程組有非零解，并且基礎(chǔ)解系中有一個(gè)列向量；（2）通過null（A，'r'）命令得到了該齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。

（二）MTALAB在解非齊次方程組的應(yīng)用

1.非齊次線性方程組解的存在性定理（1）:若系數(shù)矩陣的秩rank（A）≠增廣矩陣的秩rank（B），則該方程組無解。

在MATLAB命令窗口運(yùn)行以下命令:

A=［2 -1 -1 4；1 1 -2 -1；1 -1 1 1；2 1 -4 2］；%系數(shù)矩陣

b=［1；2；-1；0］；%常數(shù)列向量

B=［A b］；%增廣矩陣

rank（A），rank（B）%系數(shù)矩陣的秩、增廣矩陣的秩

x0=A%求該方程組的一個(gè)特解

output:rank（A）=3，rank（B）=4，Warning: Matrix is sin gular to working precision

x0=（NaN Inf Inf Inf）T。

結(jié)果分析:rank（A）≠rank（B），故該非齊次線性方程組無解。

2.非齊次線性方程組解的存在性定理（2）:若系數(shù)矩陣的秩rank（A）=增廣矩陣的秩rank（B）=未知數(shù)個(gè)數(shù)，則該方程組有唯一解。

借助MATLAB軟件求解，具體程序如下:

A=［2 -1 -1 4；1 1 -2 -1；1 -1 1 1；1 1 -2 -2］；b=［1；2；-1；0］；B=［A b］；rank（A），rank（B）

oupput:rank（A）=4，rank（B）=4

結(jié)果分析:由于rank（A）=rank（B）=4（未知數(shù)個(gè)數(shù)），因此說明該方程組有唯一解，下面分別利用兩種方法對(duì)該方程組進(jìn)行求解。

方法1:應(yīng)用Cramer法則結(jié)合命令求解，具體程序:

A=［2 -1 -1 4；1 1 -2 -1；1 -1 1 1；1 1 -2 -2］；b=［1；2；-1；0］；

x1=det（［bA（:，2）（:，3）A（:，4）］/det（A），

x2=det（［A（:，1）bA（:，3）A（:，4）］）/det（A）

x3=det（［A（:，1）A（:，2）bA（:，4）］）/det（A），

x4=det（［A（:，1）A（:，2）A（:，3）b］）/det（A）

output:x1=2 x2=8 x3=3 x4=2

方法2:應(yīng)用求逆矩陣命令inv（A）求解（X=inv （A）·b）。

A=［2 -1 -1 4；1 1 -2 -1；1 -1 1 1；1 1 -2 -2］；b=［1；2；-1；0］；X=inv（A）·b

方法3:運(yùn)用左除運(yùn)算符“”求解.

A=［2 -1 -1 4；1 1 -2 -1；1 -1 1 1；1 1 -2 -2］；b=［1；2；-1；0］；X=A

3.非齊次線性方程組解的存在性定理（3）:若系數(shù)矩陣的秩rank（A）=增廣矩陣的秩rank（B）＜未知數(shù)個(gè)數(shù)，則該方程組有無窮多解。

輸入MATLAB命令:

A=［2 -1 -1 1；1 2 -1 -1；5 5 -4 -2；0 5 -1 -3］；b=［1；1；4；1］；B=［A b］；rank（A），rank（B）

output:rank（A）=2，rank（B）=2

從運(yùn)行結(jié)果分析可知，rank（A）=rank（B）=2＜4（未知數(shù)個(gè)數(shù)），說明該線性方程組有無窮多解，下面介紹兩種方法求解該線性方程組。

方法1:調(diào)用rref命令將增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形求解，程序如下:

A=［2 -1 -1 1；1 2 -1 -1；5 5 -4 -2；0 5 -1 -3］；b=［1；1；4；1］；B=［A b］；C=rref（B）

從運(yùn)行結(jié)果可知，原方程組的等價(jià)形式為

通過求解可知該方程組的通解為

方法2:根據(jù)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，先運(yùn)用左除運(yùn)算符“”求出原方程組的一個(gè)特解，再調(diào)用null（A，'r'）命令求解對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系，最終得到原方程組的通解，具體命令:

故，該方程組的通解為

通過將MTALAB軟件引入到方程組求解的教學(xué)中，一方面可以幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解；另一方面，改變了傳統(tǒng)的教學(xué)方式，讓學(xué)生更多參與實(shí)際教學(xué)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和興趣，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)理論知識(shí)的同時(shí)了解MTALAB軟件，并能運(yùn)用MTALAB解決方程組求解問題，進(jìn)而達(dá)到學(xué)有所用，學(xué)以致用的目的，體現(xiàn)應(yīng)用型本科“應(yīng)用為驅(qū)動(dòng)，學(xué)生為主導(dǎo)”的特點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

［1］吳贛昌.線性代數(shù)（理工類第四版）［M］.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2011.

［2］陳懷琛，龔杰明.線性代數(shù)實(shí)踐及MATALB（理工類第四版）［M］.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2015.

［3］陳永勝，劉洋萍.基于MATLAB求解非齊次線性方程組［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009（10）：1-2.

［4］歐陽(yáng)異能，楊婷. MATLAB在線性代數(shù)課程中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（10）：113-114.

編輯朱榮華

Exploration and Implementation on Teaching Mode of Linear Algebra on Application-oriented Undergraduate

SUN Jian，WANG Cui-fang
（Department of basic courses，Tianjin Sino-German University of Applied Sciences，Tianjin 300350，China）

Abstract：In this paper，we attempt to introduce MATLAB in Linear algebra of the solution of equations with the characteristics of application-oriented undergraduate in order to stimulate student' learning enthusiasm，improve student' participation，Skills to use and learn in order to practice.

Key words:application-oriented undergraduate education；MATLAB；Linear algebra；solution of equations

中圖分類號(hào)：G642

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095-8528（2016）03-019-03

收稿日期：2015-11-16

作者簡(jiǎn)介：孫健（1983），男，天津市人，講師，碩士，研究方向?yàn)槠⒎址匠?、?shù)學(xué)教學(xué)；王翠芳（1981），女，天津市人，副教授，碩士，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)教學(xué)。