關(guān)于三角函數(shù)與二次函數(shù)交匯的值域問題的探究

福建省龍巖市連城一中 張濤生

對(duì)于三角函數(shù)的性質(zhì)，包括有界性與單調(diào)性問題即-1≤sinx≤1及-1≤cosx≤1,與二次函數(shù)交匯，如何解決最值問題？歷來都是高中教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)問題。

一、構(gòu)建二次函數(shù)型的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為拋物線區(qū)間求值的問題

例1.求y = 2 cos2x + 2 sin x -1的最大值？

很多學(xué)生認(rèn)為cos2x 取最大值時(shí)y最大，但沒考慮此時(shí)sinx無法取最大值，怎么辦呢？只能綜合地考慮，整體化思想，把sinx化為cosx，還是把cos2x 化為sinx呢？顯然sinx化為不利，而且還要考慮符號(hào)，cos2x = 1- sin2x 更有利，避免麻煩，要注意求sinx的值域。

解：y = 2 (1- s in2x) + 2 sin x -1=-2 sin2x + 2 sin x +1這時(shí)利用換元，令sin x=t∈[- 1 ,1]，

∴y = -2t2+ 2 t+1利用配方，

二、對(duì)于角度x有限制條件的問題，仍須構(gòu)建二次函數(shù)模型

但要利用t=sinx的單調(diào)性來求取值范圍,通過對(duì)稱軸來確定最值。

例2.求的最大值與最小值之和

先轉(zhuǎn)化為y = 1- s in2x + sin x

此時(shí)要考慮t的范圍。

三、內(nèi)化聯(lián)系，化歸二次函數(shù)

例3.求函數(shù)y=cosα+ s in α+sinαcosα的最值。

對(duì)于學(xué)生來講，該題目可論是未知的，通過轉(zhuǎn)化，將此種未知轉(zhuǎn)化為已知，將原本復(fù)雜的問題為學(xué)生熟悉，并容易的二次函數(shù)問題進(jìn)行求解。

解：可以引入代換t=cosα + sinα，則

這種將三角函數(shù)問題化歸為二次函數(shù)，可以幫助學(xué)生快速對(duì)未知問題進(jìn)行解決，提高學(xué)習(xí)成績(jī)，建立學(xué)習(xí)信心。

變式，求函數(shù)y =(simx +a)(cosx+a)的最值

小結(jié)，遇到sinx+cosx ，sinx-cosx ，sinx?cosx相關(guān)的問題，常采用換元法，但要注意范圍的確定。通過平方關(guān)系知一求二?？梢赞D(zhuǎn)化為二次函數(shù)，由區(qū)間端點(diǎn)與對(duì)稱軸距離來確定最值。

四、含字母參數(shù)的二次函數(shù)型三角函數(shù)問題，按對(duì)稱軸與區(qū)間關(guān)系合理分類

挖掘三角函數(shù)的有界性問題，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性，可以解決最值的問題。

例4．設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y = 2 cos2x - 2 a c os x - ( 2 a +1)的最小值為f(a)，試確定滿足f( a) =的a值，并對(duì)此時(shí)的a值求y的最大值．

解：由=及cos x ∈[-1,1]得：

∵,∴當(dāng)時(shí)得，故-,解得：a=－1,此時(shí), 當(dāng)cosx=1,即x = 2 k π,k ∈ Z 時(shí)，ymax=5.

(1)當(dāng)即－2≤m≤2時(shí)，由得函數(shù)f(x)的最小值為－4m＋1，由－4m＋1＝19，得

(2)當(dāng)即m＞2時(shí)，由sinx＝－1，得函數(shù)f(x)的最小值為得m＝結(jié)合m＞2得

(3)當(dāng)－m2＞1即m＜－2時(shí)，由sin x＝1得函數(shù)f(x)的最小值為m22－2m＋3，由得m＝－4或m＝8，結(jié)合m＜－2得m＝－4.

由(1)、(2)、(3)得m的值為－4或

構(gòu)建二次函數(shù)模型，結(jié)合區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系，通常區(qū)間是定的，如果有字母參數(shù)，則對(duì)稱軸是動(dòng)的，因此分類討論思想起到引領(lǐng)作用。利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，有效地確定曲線段，合理確定最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，合理解決問題。

因此，解決這類問題基本上先把三角函數(shù)換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)型問題，根據(jù)軸與區(qū)間的關(guān)系。如果含字母參數(shù)的，分類討論為基本框架，就可合理地解決此類問題。