例析正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用

王　艷

(寧夏銀川市第二十四中學(xué),750021)

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例析正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用

王艷

(寧夏銀川市第二十四中學(xué),750021)

正、余弦定理是學(xué)習(xí)有關(guān)三角知識的繼續(xù)和發(fā)展,它深入揭示了三角形邊與角之間的關(guān)系,在各個方面有著廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)將其在解三角形中的綜合應(yīng)用例析如下,望讀者能更全面地理解該思想,從而靈活掌握相關(guān)技巧．

一、用正弦定理解三角形

思路本題由正弦定理出發(fā),將邊化為角,再結(jié)合三角恒等變換來解決．

解∵a+c=2b,

∴sinA+sinC=2sinB,

(*)

∴(*)式即為

評注處理邊角混合問題一定要注意確定解的個數(shù),做到準(zhǔn)確無誤．

∴sinBcosB=sinAcosA,

∴sin2A=sin2B,

∴2A=2B或2A+2B=π,

得9k2+16k2=102,

解得k=2,a=6,b=8．

評注本題也考察正弦定理的靈活應(yīng)用,但要注意sin2A=sin2B?2A=2B或2A+2B=π這一結(jié)論的準(zhǔn)確運用．

二、用余弦定理解三角形

例3在?ABC中,A最大,C最小,且A=2C,a+c=2b,求此三角形三邊之比.

解由正弦定理，得

由余弦定理，有

而a+c=2b，

整理得2a2-5ac+3c2=0，

∵A=2C,∴a=c不成立，

故此三角形三邊之比為6∶5∶4．

評注對于余弦定理要牢記各種表示形式.

三、判斷三角形的形狀及證明恒等式

例4在?ABC中， 若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,試判斷三角形的形狀.

思路本題可用兩種不同的方法來處理,最終殊途同歸．

解法1由正弦定理，得

其中R為?ABC外接圓的半徑，于是有

8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC．

又∵sinBsinC≠0,

∴sinBsinC=cosBcosC,

∴cos(B+C)=0, 從而B+C=90°，所以?ABC為直角三角形．

解法2將已知等式變形為

b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)

=2bccosBcosC．

于是由余弦定理，得

化簡得b2+c2

∴b2+c2=a2,

所以?ABC為直角三角形.

評注不管選用哪種方法作出發(fā)點，都要注意正確運用相關(guān)公式.

例5已知A,B,C為?ABC的三個內(nèi)角, 并且(sinA+sinB)2-sin2C=3sinAsinB. 求證:A+B=120°．

思路由于A+B+C=180°,所以可以將問題轉(zhuǎn)化為證明C=60°． 觀察已知條件為三角函數(shù)關(guān)系,因此應(yīng)該考慮向三角函數(shù)方向轉(zhuǎn)化,只需求得角C的三角函數(shù)值即可．

證明由(sinA+sinB)2-sin2C=3sinAsinB，得到

sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB.

又由正弦定理

即a2+b2-c2=ab,

又0°

∴C=60°,A+B=180°-C=120°.

評注在利用正、余弦定理證明有關(guān)三角恒等式和判定三角形的形狀時，主要是將已知條件中邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角或邊的關(guān)系.一般地，利用正弦定理可將邊轉(zhuǎn)化為角，利用余弦定理可將角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，從而進(jìn)一步解決問題.

四、求三角形的面積

例6在?ABC中,

求(1)角C的度數(shù)；

分析結(jié)合平面向量的夾角公式,求出角C,再由余弦定理結(jié)合面積,即可求出a+b的值．

(2)由c2=a2+b2-2abcosC，得

(*)

評注本題考察了余弦定理與平面向量的綜合應(yīng)用,滲透了解題方法及一定的數(shù)學(xué)思想應(yīng)多加注意．

五、正、余弦定理的綜合應(yīng)用

例7已知函數(shù)

(1)將f(x)寫成Asin(ωx+φ)+B的形式，并求其圖象的對稱中心的橫坐標(biāo)；

(2)如果?ABC的三邊a,b,c滿足b2=ac,且邊b所對的角為x,試求x的范圍以及此時函數(shù)f(x)的值域.

(2)∵b2=ac,

評注由b2=ac聯(lián)想到余弦定理的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵.

正、余弦定理還可以與許多其它知識點交匯形成具有一定綜合性的問題,在此不再一一列舉了,同學(xué)們應(yīng)在今后的學(xué)習(xí)中多加注意和積累．

解決此類問題的基本方法有兩種：一是化邊為角，二是化角為邊.