高二數(shù)學(xué)測(cè)試

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高二數(shù)學(xué)測(cè)試

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

1.命題“?x∈R,x2+x+1>0”的否定是______.

2.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品,產(chǎn)品數(shù)量之比為2∶3∶5,現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取容量為n的樣本,樣本中A型號(hào)產(chǎn)品有15件,那么樣本容量n為______.

3.在區(qū)間[0,4]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x,則x>2的概率是______.

4.根據(jù)如圖所示的偽代碼,如果輸入x的值為0,則輸出結(jié)果y為______.

第4題圖

6.在三張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各一張,另一張無獎(jiǎng),甲乙兩人各抽取一張(不放回),兩人都中獎(jiǎng)的概率為______.

7.如圖,該程序運(yùn)行后輸出的y值為______.

8.一個(gè)圓錐筒的底面半徑為3 cm,其母線長為5 cm,則這個(gè)圓錐筒的體積為______cm3.

10.設(shè)l,m是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不重合的平面,給出下列四個(gè)命題:

① 若α∥β,l⊥α,則l⊥β;

② 若l∥m,l?α,m?β,則α∥β;

③ 若m⊥α,l⊥m,則l∥α;

④ 若l∥α,l⊥β,則α⊥β.

其中真命題的序號(hào)有______.(寫出所有正確命題的序號(hào))

12.已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)滿足f(x)

13.若橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),長軸長為4,一條準(zhǔn)線方程為x=-4,則該橢圓被直線 y=x+1截得的弦長為______.

14.若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=aex+(b2-3)x在x=0處取得極值,則ab的最大值等于______.

二、解答題(本大題共6小題,共計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)某班40名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如圖所示.(學(xué)生成績都在[50,100]之間)

(1)求頻率分布直方圖中a的值;

(2)估算該班級(jí)的平均分;

(3)若規(guī)定成績達(dá)到80分及以上為優(yōu)秀等級(jí),從該班級(jí)40名學(xué)生中任選一人,求此人成績?yōu)閮?yōu)秀等級(jí)的概率.

16.(本小題滿分14分)如圖,在四面體ABCD中,AB⊥CD,AB⊥AD，M,N,Q分別為棱AD,BD,AC的中點(diǎn).

(1)求證:CD∥平面MNQ;

(2)求證:平面MNQ⊥平面ACD.

(1)若“p且q”是真命題,求m的取值范圍;

(2)若q是r的必要不充分條件,求t的取值范圍.

18.(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a.

(1)當(dāng)a=-2時(shí),求f(x)在x=2處的切線方程;

(2)若f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為22,求它在該區(qū)間上的最小值.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若橢圓E的右焦點(diǎn)是P，其右準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，直線AQ的斜率為k1,直線BQ的斜率為k2，求證：k1+k2=0;

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(3)若存在x0>1,當(dāng)x∈(1,x0)時(shí)，恒有f(x)>kg(x),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

參考答案

一、填空題

1.?x∈R,x2+x+1≤0; 2.75;

7. 32; 8.12π; 9.7; 10.① ④;

11.y=±x; 12.[2 016,+∞);

二、解答題

15.(1)由題意得

(2a+2a+3a+6a+7a)×10=1,

∴20a×10=1,

∴a=0.005.

16.(1)因?yàn)镸,Q分別為棱AD,AC的中點(diǎn),

所以MQ∥CD.

又CD?平面MNQ,MQ?平面MNQ,

故CD∥平面MNQ.

(2)因?yàn)镸,N分別為棱AD,BD的中點(diǎn),所以MN∥AB.

又AB⊥CD,AB⊥AD,故MN⊥AD,MN⊥CD.

因?yàn)锳D∩CD=D,AD,CD?平面ACD, 所以MN⊥平面ACD.

又MN?平面MNQ,所以平面MNQ⊥平面ACD.

17.(1)若p為真:Δ=4-4m≥0,解得m≤1.

解得 -1

解得-1≤t≤1.

18.(1) f ′(x)=-3x2+6x+9,切線的斜率為9, 所以f(x)在x=2處的切線方程為

y-20=9(x-2),即9x-y+2=0.

(2)令f ′(x)=-3x2+6x+9=0,得x=3(舍),或x=-1.

當(dāng)x∈(-2,-1)時(shí),f ′(x)<0,所以f(x)在x∈(-2,-1)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(-1,2)時(shí),f ′(x)>0,所以f(x)在x∈(-1,2)時(shí)單調(diào)遞增.又f(-2)=2+a,f(2)=22+a,

所以f(2)>f(-2),因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值,于是有 22+a=22,解得 a=0.

故f(x)=-x3+3x2+9x,因此f(-1)=-5,

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最小值為-5.

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

由題意P(1,0),Q(2,0).

∴(x1-1,y1)∥(x2-1,y2),

∴x1y2-x2y1=y1-y2.

=2(y1-y2)(y1+y2).

若y1=y2,則k1=k2=0,結(jié)論成立;

若y1≠y2,則x1y2+x2y1=2(y1+y2),

(3)當(dāng)直線l與y軸平行時(shí),設(shè)直線l與橢圓相交于C,D兩點(diǎn).

如果存在定點(diǎn)Q滿足條件,則有

所以Q在x軸上,可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,0).

記直線AQ的斜率為k1,直線BQ的斜率為k2.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

∴x1y2-x2y1=t(y1-y2).

∵(x1y2-x2y1)(x1y2+x2y1)

=2(y1-y2)(y1+y2).

若y1=y2,則k1=k2=0;

易知,點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(-x2,y2),

∴kQA=kQB′,∴Q,A,B′三點(diǎn)共線,

由f ′(x)<0,得

(2)設(shè)φ(x)=f(x)-g(x)+a

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),F′(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，所以F(x)在x∈(0,1)遞增,在[1,+∞)上單調(diào)遞減,∴F(x)max=F(1)=0.

∴對(duì)任意的x∈(0,+∞),恒有f(x)≤g(x),故不存在x0>1滿足題意.

當(dāng)k>1時(shí),對(duì)于x>1,有f(x)1滿足題意.

當(dāng)k<1時(shí),令G(x)=f(x)-kg(x),x∈(0,+∞)時(shí)，則有

由G′(x)=0,得-x2+(1-k)x+1=0,

當(dāng)x∈(1,x2)時(shí)，G′(x)>0,故G(x)在[1,x2)內(nèi)單調(diào)遞增，從而當(dāng)x∈(1,x2)時(shí)，G(x)>G(1)=0,即f(x)>k(x-1).

綜上，k的取范圍是(-∞,1).