高三數(shù)學(xué)綜合測(cè)試

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高三數(shù)學(xué)綜合測(cè)試

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

1.已知集合A={x|x2-2x<0},B={0,1,2},則A∩B=______.

2.若復(fù)數(shù)z=i(3-2i)(i是虛數(shù)單位),則z的虛部為______.

4.某學(xué)校從高三年級(jí)共800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高.據(jù)測(cè)量被測(cè)學(xué)生身高全部介于155 cm和195 cm之間,將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組:第一組[155,160)、第二組[160,165)、…第八組[190,195],按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分如圖所示.估計(jì)這所學(xué)校高三年級(jí)全體男生身高180 cm以上(含180 cm)的人數(shù)為______.

6.從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中,隨機(jī)抽取2個(gè)不同的數(shù),則這2個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率是______.

12.已知圓O:x2+y2=4,若不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與圓O交于P、Q兩點(diǎn),且滿足直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,則直線l的斜率為______.

二、解答題(本大題共6小題,共計(jì)90分,解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC，D、E分別為BC、CC1中點(diǎn)，BC1⊥B1D.

(1)求證:DE∥平面ABC1;

(2)求證:平面AB1D⊥平面ABC1.

(2)若λ=2,求橢圓離心率e的取值范圍.

18.(本小題滿分15分)某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道,車道總寬20米,要求通行車輛限高4.5米,隧道口截面的拱線近似地看成拋物線形狀的一部分,如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

(1)若最大拱高h(yuǎn)為6米,則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少?

19.(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=(ax2+x+2)ex(a>0),其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)的極值；

(2)若f(x)在[-2,2]上是單調(diào)增函數(shù),求a的取值范圍;

(3)當(dāng)a=1，求整數(shù)t的所有值,使方程f(x)=x+4在[t,t+1]上有解.

20.(本小題滿分16分)若數(shù)列{an}中不超過(guò)f(m)的項(xiàng)數(shù)恰為bm(m∈N*)，則稱數(shù)列{bm}是數(shù)列{an}的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)f(m)是數(shù)列{an}生成{bm}的控制函數(shù).

(1)已知an=n2,且f(m)=m2,寫出b1,b2,b3;

(2)已知an=2n,且f(m)=m,求{bm}的前m項(xiàng)和Sm;

(3)已知an=2n,且f(m)=Am3(A∈N*),若數(shù)列{bm}中，b1,b2,b5是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，且b3=10,求d的值及A的值.

參考答案

一、填空題

二、解答題

15.(1)∵D、E分別為BC、CC1中點(diǎn)，

∴DE∥BC1.

∵DE?平面ABC1,BC1?平面ABC1.

∴DE∥平面ABC1.

(2)直三棱柱ABC-A1B1C1中，

CC1⊥平面ABC,∵AD?平面ABC，

∴CC1⊥AD.∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，

∴AD⊥BC.又∵CC1∩BC=C，CC1,BC?平面BCC1B1，

∴AD⊥面BCC1B1,

∵BC1?平面BCC1B1,

∴AD⊥BC1,

又∵BC1⊥B1D,B1D∩AD=D,

B1D,AD?平面AB1D,

∴BC1⊥平面AB1D.

∵BC1?平面ABC1,

∴平面AB1D⊥平面ABC1.

∵f(x)的周期為π，且ω>0,

由余弦定理，知a2=b2+c2-2bccos A,即

16=b2+c2-bc,

∴ 16=(b+c)2-3bc.

因?yàn)閎+c=5,所以bc=3,

∴F1(-2,0),F2(2,0),

(2)設(shè)P(x0,y0),M(xM,yM),

即 x20+y20=2cx0.

c2x20-2a2cx0+a2(a2-c2)=0,

令y=-6,解得x=±20,則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是40米.

即 20

19.(1)f(x)=(2x2+x+2)ex,則

f ′(x)=(2x2+5x+3)ex

=(x+1)(2x+3)ex,

x-∞,-32()-32-32,-1()-1(-1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)增極大值減極小值增

f(x)極小值=f(-1)=3e-1.

(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f ′(x)=[ax2+(2a+1)x+3]ex≥0在x∈[-2,2]上恒成立.

又ex>0,即ax2+(2a+1)x+3≥0在x∈[-2,2]上恒成立.

令g(x)=ax2+(2a+1)x+3,

∴Δ=(2a+1)2-12a≤0,

(3)∵a=1,設(shè)h(x)=(x2+x+2)ex-x-4,

則 h′(x)=(x2+3x+3)ex-1.

令φ(x)=(x2+3x+3)ex-1,則

φ′(x)=(x2+5x+6)ex,

令φ′(x)=(x2+5x+6)ex=0,得

x=-2,-3.

∴存在x0∈(-1,0),x∈(-∞,x0)時(shí)，φ(x)<0,x∈(x0,+∞)時(shí)，φ(x)>0,

∴h(x)在(-∞,x0)上單調(diào)減，在(x0,+∞)上單調(diào)增.

由零點(diǎn)的存在性定理，可知h(x)=0的根x1∈(-4,-3),x2∈(0,1),即t=-4,0.

20.(1)m=1,則a1=1≤1,

∴b1=1;m=2,則a1=1<4,a2=4≤4,∴b2=2,m=3,則a1=1<9,a2=4<9,a3=9≤9,∴b3=3.

m為偶數(shù)時(shí)，

Sm=b1+b2+…+bm

m為奇數(shù)時(shí)，

Sm=b1+b2+…+bm

=Sm+1-bm+1

(3)依題意，有an=2n,f(1)=A,f(2)=8A,f(5)=125A.設(shè)b1=t,即數(shù)列{an}中，不超過(guò)A的項(xiàng)恰有t項(xiàng)，所以2t≤A<2t+1.

同理2t+d≤8A<2t+d+1,2t+2d≤125A<2t+2d+1,

∵d為正整數(shù)，∴d=1,2,3.

∴t+3≤b3≤t+6.