互助養(yǎng)老年金的給付模型研究

張琳 楊起軍　湖南大學(xué)金融與統(tǒng)計學(xué)院

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互助養(yǎng)老年金的給付模型研究

張琳 楊起軍湖南大學(xué)金融與統(tǒng)計學(xué)院

一、引言

隨著生活環(huán)境和醫(yī)療技術(shù)水平的不斷進步，人類預(yù)期壽命不斷延長，由此導(dǎo)致的政府、企業(yè)及保險公司等經(jīng)營管理養(yǎng)老保險的機構(gòu)或企業(yè)的財務(wù)負擔(dān)不斷加重的風(fēng)險即為長壽風(fēng)險。如果管理不當(dāng)，長壽風(fēng)險將會給這些機構(gòu)帶來沉重的打擊。《華爾街日報》2015年10月27日的報道顯示：自1990年到2013年我國人口的平均壽命延長了8年半，由此導(dǎo)致我國居民的養(yǎng)老成本不斷增加。我國人社部的報道顯示：由于基本養(yǎng)老保險“資不抵債”，各級政府的財政補貼在逐年增加，2014年補貼達到了3548億元，2002—2014這13年間基本養(yǎng)老保險的財政總補貼已經(jīng)超過了2萬億元。

長壽風(fēng)險根據(jù)承擔(dān)主體的差異可以分為個體長壽風(fēng)險和聚合長壽風(fēng)險。因消費者實際壽命超過預(yù)期導(dǎo)致個人資產(chǎn)不足以支付老齡階段的全部生活費用的風(fēng)險即為個體長壽風(fēng)險。當(dāng)消費者面臨個體長壽風(fēng)險時，最常見的應(yīng)對措施即為通過購買養(yǎng)老年金來保證未來的資金來源。如果整體預(yù)期壽命無明顯的變化，保險公司可以通過大數(shù)法則來實現(xiàn)無數(shù)個個體長壽風(fēng)險的有效分散，因此個體長壽風(fēng)險與一般的保險風(fēng)險并無本質(zhì)區(qū)別；但是如果預(yù)期壽命的延長變成整個人類社會的趨勢，由此帶來整體負債不斷增加的風(fēng)險即為聚合長壽風(fēng)險。

相比于一般的保險風(fēng)險，壽命延長是一個整體不可逆轉(zhuǎn)的趨勢，因而聚合長壽風(fēng)險無法通過大數(shù)法則來進行分散，只能通過各種渠道來尋找分擔(dān)主體。關(guān)于長壽風(fēng)險的分擔(dān)模式，理論方面，國內(nèi)外學(xué)者的研究最多地集中在長壽風(fēng)險證券化方面，即通過以預(yù)期死亡率和實際死亡率為基礎(chǔ)的現(xiàn)金流轉(zhuǎn)換將長壽風(fēng)險轉(zhuǎn)移到資本市場，最主要的形式是長壽互換和長壽債券。實踐方面，自2003年Swiss Re發(fā)行第一款極端死亡率債券VitaⅠ以來，國際市場已經(jīng)成功發(fā)行了很多次類似的長壽債券。而相比于國外較為成熟的資本市場，我國的相關(guān)機制尚不夠完善，目前尚無任何一款長壽風(fēng)險證券化產(chǎn)品，因此用證券化的方式來轉(zhuǎn)移長壽風(fēng)險至少在短時間內(nèi)是無法實現(xiàn)的。

除了證券化以外，國內(nèi)外學(xué)者還提出兩種長壽風(fēng)險的轉(zhuǎn)移模式：一是將養(yǎng)老年金和定期壽險組合在一起進行捆綁銷售，從而實現(xiàn)產(chǎn)品所保風(fēng)險的自然對沖；二是在養(yǎng)老年金的給付階段每年通過計算得到的長壽指數(shù)來調(diào)整給付金額。但是以上兩種方法的效果依然有限：首先，由于逆選擇風(fēng)險的存在，定期壽險和養(yǎng)老年金的消費群體沒有明顯的交集，因此自然對沖策略很難達到預(yù)期效果；其次，長壽指數(shù)的計算是基于一個國家非常充足的死亡率統(tǒng)計信息的，我國正規(guī)的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)自1994年才開始，數(shù)據(jù)量明顯不足，基于此數(shù)據(jù)計算得到的長壽指數(shù)可信度較低。站在長壽風(fēng)險分擔(dān)主體的角度考慮，既然保險行業(yè)不愿承擔(dān)聚合長壽風(fēng)險，而消費者不愿承擔(dān)個體長壽風(fēng)險，不妨將二者的作用互換。因此本文創(chuàng)新性地提出由年金池承擔(dān)個體長壽風(fēng)險而消費者承擔(dān)聚合長壽風(fēng)險的互助養(yǎng)老年金模式，希望能為我國政府、壽險業(yè)等涉及養(yǎng)老保險的行業(yè)提供解決長壽風(fēng)險的新思路。

二、文獻綜述

互助養(yǎng)老年金（Pooled Annuity Fund）又叫群體自助年金化（Group Self-Annuitisation），John Piggott，Emiliano A. Valdez和Bettina Detzel（2005）最早提出了較為完整的概念，并推導(dǎo)了精算公平原則下的給付遞推公式。但是John Piggott等人并未對互助養(yǎng)老年金的特點進行很好的概括；另外，他們提出的給付遞推模型在計算年金精算現(xiàn)值的時候仍然采用初始設(shè)定的死亡率信息，這樣做雖然簡化了推導(dǎo)過程，但是由此得到的遞推模型并不能完全實現(xiàn)長壽風(fēng)險的轉(zhuǎn)移。隨后，Ralph Goldsticker（2007）給出了互助養(yǎng)老年金的定性分析，詳細闡述了其概念及特點。

在John Piggott等人和Ralph Goldsticker的研究基礎(chǔ)上，關(guān)于互助養(yǎng)老年金的后續(xù)研究內(nèi)容主要集中在以下幾個方面：1. Jonathan Barry Forman（2014）從企業(yè)人員規(guī)模的角度研究了互助養(yǎng)老年金的適用范圍；2.Moshe A. Milevsky，Thomas S. Salisbury （2015）通過求解歐拉—拉格朗日方程得到基于終身效用最大化的互助養(yǎng)老年金的結(jié)構(gòu)，并檢驗了該結(jié)構(gòu)關(guān)于年金人數(shù)和逆選擇風(fēng)險的敏感程度；3.Michael Z. Stamos （2008）將互助養(yǎng)老年金和普通養(yǎng)老年金結(jié)合在一起，并通過HJB方程分析了不同情況下二者的最優(yōu)組合；4.Catherine Donnelly，Montserrat Guillén和Jens Perch Nielsen （2013）同樣基于終身效用最大化理論，將互助養(yǎng)老年金和死亡率連接基金做了對比，最后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)投資收益率的方差波動較小時，互助養(yǎng)老年金的期望效用大于死亡率連接基金。本文即在John Piggott等人的研究基礎(chǔ)上，通過改進其推導(dǎo)過程得到更為貼近實際情況的互助養(yǎng)老年金給付遞推模型，并選用中國部分地區(qū)的數(shù)據(jù)來進行實證分析。

三、互助養(yǎng)老年金的給付模型推導(dǎo)

互助養(yǎng)老年金本質(zhì)上屬于相互保險的一種，即具有同質(zhì)保障需求（養(yǎng)老儲蓄）的單位或個人，通過訂立合同成為會員，并繳納養(yǎng)老金形成互助基金，該基金由專業(yè)的基金公司負責(zé)投資運作，在成員退休后每年給付養(yǎng)老金的一種保險模式。2015年初，保監(jiān)會印發(fā)了《相互保險組織監(jiān)管試行辦法》，旨在加強對尚處于萌芽階段的我國相互保險組織的監(jiān)督管理和促進我國相互保險業(yè)的規(guī)范健康發(fā)展。

根據(jù)相互保險的特點以及John Piggott等人提出的模型，可以歸納出互助養(yǎng)老年金和普通養(yǎng)老年金之間的兩個主要區(qū)別：

（1）由于具有互助性質(zhì)，如果互助養(yǎng)老年金中的某個成員死亡，他的資金將會按照一定的方式在年金池內(nèi)進行再分配，這部分待分配的資金被稱為死亡率信用（Mortality Credit）。

（2）每年會根據(jù)最新的信息來預(yù)測未來死亡率的分布和利率的波動，根據(jù)預(yù)測得到的結(jié)果計算給付額調(diào)整因子，用調(diào)整因子去修正下一年度的給付額。

John Piggott等人推導(dǎo)了在精算公平的原則下每年調(diào)整因子的計算方法，最后得出如下形式的一般情形下的遞推模型：

對于互助養(yǎng)老年金的第i個成員，假設(shè)其加入互助養(yǎng)老年金初始時刻的年齡為x，在t時刻假設(shè)他已經(jīng)加入了k（k≥1）個時間段，則可以分別用表示該成員此時的尚未收到在t-1到t時刻之間去世的人的資金分配時的資金總額和該時刻領(lǐng)取的養(yǎng)老金數(shù)額，則

其中，F(xiàn)t表示t時刻互助養(yǎng)老年金的資金總額，At和Dt-1分別表示t時刻尚且存活的成員和t-1時刻到t時刻之間去世的成員。將去世的人的資金分配完成后，第i個尚且存活的成員資金總額記為。根據(jù)精算公平的原則，去世的人的資金按照此時尚且存活的成員們各自的資金占他們此時資金總額的比例進行分配，因此有：第j個存活的成員經(jīng)過分配后的資金總額為：

在t時刻剛剛加入的成員由于其資金尚未開始按照約定的規(guī)則運作，所以不能看成是t時刻基金的一部分，即Ft不包括在t時刻剛剛加入的成員的資金，所以在確定分配額度的時候需要加上k≥1這個條件，即剛剛加入的成員無法獲得累積到t時刻的資金的分配。對于剛剛加入的成員，假設(shè)其初始資金為，則其首年領(lǐng)取的養(yǎng)老金金額

對于x歲時加入，已經(jīng)加入了k（k≥1）年的編號為j的成員，其在t時刻的養(yǎng)老金金額為

，按照與John Piggott同樣的方式，等式右邊乘以一個帶入并化簡得到給付遞推公式：

DEA表示t時刻死亡率調(diào)整因子，IEAt=表示t時刻的利率調(diào)整因子。

四、基于真實死亡率統(tǒng)計數(shù)據(jù)的養(yǎng)老金金額分布情況分析

在得到給付遞推模型的基礎(chǔ)上，本部分選取我國真實的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)及合適的死亡率趨勢外推模型來得到未來一段時間內(nèi)的預(yù)期死亡率分布情況，隨后采用蒙特卡洛模擬，基于上一部分內(nèi)容中推導(dǎo)出的給付模型得到每年給付額的分布。

（一）死亡率預(yù)測模型

由于研究對象是聚合長壽風(fēng)險，所以選取的死亡率預(yù)測模型必須能反映死亡率的整體變化趨勢。綜合多種考慮，在M. Kenan Terziog lu1和MeralSucu（2015）提出的用于估計土耳其人口分布情況的Compertz—Makeham模型的基礎(chǔ)上稍加改進提出隨機動態(tài)Compertz—Makeham模型（以下簡稱隨機動態(tài)CoMa模型）。其形式如下：

由于互助養(yǎng)老年金的目標客戶群為退休人士或即將退休之人，因此不妨以我國臺灣地區(qū)為例，數(shù)據(jù)來源自Human Mortality Database。選取其中年齡段在60至105歲之間，統(tǒng)計年份為1970—2010年之間的中國臺灣地區(qū)不區(qū)分性別的綜合人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)來擬合上述動態(tài)CoMa模型的參數(shù)。首先在Human Mortality Database中得到1970—2010年每年不同年齡段的我國臺灣地區(qū)不分性別的死亡人數(shù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)（Deaths），記為；隨后得到1970—2010年每年不同年齡段的我國臺灣地區(qū)不分性別的人口總數(shù)（Exposure-to-Risk），記為和中，x表示年齡（60至105歲），t表示統(tǒng)計時間（1970—2010年）。則每年的我國臺灣地區(qū)不區(qū)分性別的不同年齡的死亡率可由計算得到。

根據(jù)M.Kenan Terziog lu1和MeralSucu （2015）的假設(shè)：死亡率隨機過程的均值和方差滿足標準泊松過程，即t時刻個x歲的人的死亡率為，那么顯然此時條件分布的均值為，方差為

◤圖1　不同成員人數(shù)的養(yǎng)老金領(lǐng)取金額分布情況

（二）隨機模擬

首先提出如下假設(shè)：假設(shè)2015年為初始時刻有一群年齡65歲的退休人員加入互助養(yǎng)老金計劃，初始資金均為10000元。利用matlab做死亡率服從動態(tài)CoMa模型，給付額服從第二部分推導(dǎo)得出的遞推公式的蒙特卡洛模擬來觀察不同情況下互助養(yǎng)老年金成員退休后的收入情況。選取每年領(lǐng)取的養(yǎng)老金金額的95%分位數(shù)、中位數(shù)和5%分位數(shù)來進行分析。

結(jié)果分析：

（1）當(dāng)互助養(yǎng)老年金封閉（即初始時刻之后不再加入新的成員加入），且預(yù)定利率和實際利率相同，均為5%（δ=0.04879）時，首先來觀察成員數(shù)量N的影響。假設(shè)N分別為1、10、1000和10000，得到每年的養(yǎng)老金領(lǐng)取額的95%分位數(shù)、中位數(shù)和5%分位數(shù)分布情況如圖1所示：

當(dāng)N=1時，即個人自年金化，按照每年模擬得到的實際死亡率來調(diào)整退休后領(lǐng)取的金額，計算得到的結(jié)果顯示，每年的領(lǐng)取金額在逐年下降，即為長壽風(fēng)險影響下的結(jié)果。當(dāng)N=10時，觀察到領(lǐng)取金額95%分位數(shù)在中間階段出現(xiàn)了較大程度的上升，這是因為當(dāng)成員人數(shù)比較少并且又有大比例的人死亡的時候，存活的成員領(lǐng)取的養(yǎng)老金金額將會大幅度上升。但是當(dāng)N繼續(xù)變大到1000和10000的時候，可以觀察到每年領(lǐng)取的養(yǎng)老金金額的分布情況明顯變得較為平滑，且N越大，95%分位數(shù)、中位數(shù)和5%分位線之間的差距就越小，這說明成員人數(shù)越多，互助養(yǎng)老年金的分布情況越穩(wěn)健。

（2）現(xiàn)改變條件，假設(shè)聯(lián)合養(yǎng)老基金是開放式的，觀察每年有1000個新成員加入和每5年有1000個新成員加入兩種不同的情況下養(yǎng)老金金額的變化情況（如圖2）。

◤圖2　開放式互助養(yǎng)老年金每年領(lǐng)取的養(yǎng)老金金額的分布情況

顯然，兩種情況下的分布并無顯著的差別，唯一的差別是每年均有1000名成員加入的情況下每年領(lǐng)取的養(yǎng)老金金額的波動稍小于每5年有1000名成員加入的情況。這是因為新加入的成員的資金并不會影響其他成員的領(lǐng)取金額，所以兩種情況下養(yǎng)老金領(lǐng)取金額的分布情況大致相同。但新成員加入的頻率較快相當(dāng)于變相增加了互助養(yǎng)老年金的成員規(guī)模，因此此時波動就會較小。

（3）現(xiàn)在考慮收益率的影響。之前都是假設(shè)收益率固定為常數(shù)5%，現(xiàn)在假設(shè)2015年以后實際收益率服從CIR隨機利率模型。利用臺灣銀行公布的1988年7月7日至今的73次均值為0.041739、標準差為0.025481的三年及以上定期存款利率數(shù)據(jù)來觀察分布的變化情況。分別觀察收益率固定為0.041739不變和服從均值為0.041739、標準差為0.025481的CIR隨機利率模型、通過生成每年的利率隨機數(shù)作為實際收益率，兩種情況下每年領(lǐng)取的養(yǎng)老金金額的分布情況。假設(shè)養(yǎng)老金結(jié)構(gòu)為每年有1000名65歲的新成員加入，在兩種情況下每年領(lǐng)取金額分別如圖3所示：

◤圖3　不同利率下每年領(lǐng)取的養(yǎng)老金金額的分布情況

很明顯，當(dāng)服從CIR隨機利率模型時分布的波動稍大但非常不明顯，即收益率的變化對每年領(lǐng)取的養(yǎng)老金金額的影響是非常有限的，成員規(guī)模和聚合長壽風(fēng)險才是影響領(lǐng)取金額變化的主要因素。

由此可以總結(jié)出互助養(yǎng)老年金相對于普通養(yǎng)老年金而言的優(yōu)勢和劣勢。

互助養(yǎng)老年金的優(yōu)勢有：1.相比于普通養(yǎng)老年金而言擁有較高的給付額，原因有兩點：首先，由于互助養(yǎng)老年金是由參與者承擔(dān)聚合長壽風(fēng)險和投資風(fēng)險，因而消費者不需要支付將這部分風(fēng)險轉(zhuǎn)移給保險公司而產(chǎn)生的風(fēng)險保費，因而所有的投資收益均在參與者中間進行分配；其次，通過第三部分的給付遞推模型的推導(dǎo)我們可以看出，互助養(yǎng)老年金的死亡率精算假設(shè)是基于平均余命，小于普通養(yǎng)老年金所基于的生命表中的極限年齡。2.互助養(yǎng)老年金屬于群體自助年金化，因此參與者可以根據(jù)自身喜好更加靈活的選擇年金基金的結(jié)構(gòu)和投資方式。結(jié)構(gòu)方面，可以選擇單一群體或多樣化群體、封閉式或開放式的互助養(yǎng)老年金；投資方式方面，可以選擇較為保守、收益較低的投資方式，也可以選擇風(fēng)險較大、收益較高的投資方式。3.透明度較高?；ブB(yǎng)老年金和共同基金較為相似，但不同之處在于互助養(yǎng)老年金是基于實時的死亡率信息和利率信息來調(diào)整給付額，計算方式也較為簡單，參與者們可以隨時知道互助養(yǎng)老年金的收益情況和調(diào)整方式。

互助養(yǎng)老年金的劣勢有：1.由于每年都要計算給付調(diào)整因子，所以需要對死亡率和利率的未來趨勢有較好的判斷，否則會嚴重影響未來領(lǐng)取金額分布的平穩(wěn)程度。2.要求成員規(guī)模達到一定的數(shù)量才可保證正常運行，否則可能誘發(fā)道德風(fēng)險。但是相信隨著統(tǒng)計技術(shù)的不斷提升和我國相互保險業(yè)逐步深入人心，這兩個缺點的影響會變得越來越小。

五、結(jié)論

本文首先在John Piggott等人的基礎(chǔ)上給出了基于精算公平原則的更加準確的互助養(yǎng)老年金的給付遞推模型，并選取隨機動態(tài)CoMa模型預(yù)測死亡率，通過蒙特卡洛模擬，基于隨機動態(tài)CoMa模型得到的死亡率分布以及推導(dǎo)得出的給付模式得到養(yǎng)老金金額的分布情況，通過分析結(jié)果得出如下結(jié)論：利率對領(lǐng)取金額的大小并無實質(zhì)性的影響。當(dāng)成員人數(shù)較少時，領(lǐng)取金額的分布波動性較大，容易引發(fā)道德風(fēng)險，只有成員人數(shù)達到一定的數(shù)量，才能保證互助養(yǎng)老年金的穩(wěn)健運作。