注重解題策略方能有效化解排列組合問題

張子祺

（吉林省實驗中學高一.十二班 吉林長春 130012）

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注重解題策略方能有效化解排列組合問題

張子祺

（吉林省實驗中學高一.十二班 吉林長春 130012）

摘 要：排列組合以極概率問題是高中數(shù)學的一個重點，也是難點，對于高中學習來說，這類數(shù)學問題如果能在平時多加練習并認真掌握其要領，可以在高考中應付自如，從而在考試中得心應手。本人作為一名高中生，平時特別喜歡在數(shù)學方面進行鉆研，對于高中數(shù)學中的排列組合問題進行分析研究，以便能給高中學生在學習排列組合與概率問題等方面提供借鑒。

關鍵詞：相互獨立事件 排列組合問題 解題策略 組合數(shù)計算 互斥事件 排列 組合 概率

排列組合知識，廣泛應用于實際，掌握好排列組合知識，能幫助我們在生產(chǎn)生活中，解決許多實際應用問題。同時排列組合問題歷來就是一個老大難的問題。因此有必要對排列組合問題的解題規(guī)律和解題方法作一點歸納和總結，以期充分掌握排列組合知識。

一、排列組合綜合問題的一般解題規(guī)律

1.使用“分類計數(shù)原理”還是“分步計數(shù)原理”要根據(jù)我們完成某件事時采取的方式而定，可以分類來完成這件事時用“分類計數(shù)原理”，需要分步來完成這件事時就用“分步計數(shù)原理”；那么，怎樣確定是分類，還是分步驟？“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨立完成所給的事件，而“分步”必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準確理解兩個原理強調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾，相互獨立，彼此間交集為空集，并集為全集，不論哪類辦法都能將事情單獨完成，分步計數(shù)原理強調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。

2.排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關。復雜的排列問題常常通過試驗、畫 “樹圖 ”、“框圖”等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結果的正確性難于檢驗，因此常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗。

3.按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)性進行分步是處理排列組合問題的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制詞的意義。處理排列、組合綜合問題，一般思想是先選元素（組合），后排列，按元素的性質(zhì)進行“分類”和按事件的過程“分步”，始終是處理排列、組合問題的基本原理和方法，通過解題訓練要注意積累和掌握分類和分步的基本技能，保證每步獨立，達到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。

4.在解決排列組合綜合問題時，必須深刻理解排列組合的概念，能熟練地對問題進行分類，牢記排列數(shù)與組合數(shù)公式與組合數(shù)性質(zhì)，容易產(chǎn)生的錯誤是重復和遺漏計數(shù)。

總之，解決排列組合問題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；正難則反，間接排除等。

二、排列組合問題的具體解題方法

抓住問題的本質(zhì)特征和規(guī)律，靈活運用基本原理和公式進行分析解答的同時，還要注意講究一些解題策略和方法技巧，使一些看似復雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。

1.特殊元素（位置）的“優(yōu)先安排法”：對于特殊元素（位置）的排列組合問題，一般先考慮特殊，再考慮其他。

例題：用0，2，3，4，5，五個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有多少個？

3.相鄰問題用捆綁法：在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法。例如：有8本不同的書；其中數(shù)學書3本，外語書2本，其它學科書3本.若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有多少種？

解題分析：把3本數(shù)學書“捆綁”在一起看成一本大書，2本外語書也“捆綁”在一起看成一本大書，與其它3本書一起看作5個元素，共有A55種排法；又3本數(shù)學書有A33種排法，2本外語書有A22種排法；根據(jù)分步計數(shù)原理共有排法A55*A33*A22=1440（種）。因此，運用捆綁法解決排列組合問題時，一定要注意“捆綁”起來的大元素內(nèi)部的順序問題.

4.不相鄰問題用“插空法”。不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開.解決此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法。例如：用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有多少個？

5.順序固定用“除法”。對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。例如：6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”順序排的排隊方法有多少種？

解題分析：不考慮附加條件，排隊方法有A66種，而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A6

6÷A33=120種。（或A63種）。

對于這種解題方法，我們還可以從另外一個問題中得到解答方法，比如另外一個例題：4個男生和3個女生，高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。此題的解法是：先在7個位置中任取4個給男生，有A74種排法，余下的3個位置給女生，只有一種排法，故有A74種排法。（也可以是A77÷A33種）。

應該指出的是，以上介紹的各種方法是解決一般排列組合問題常用方法，并非絕對的。數(shù)學是一門非常靈活的課程，同一問題有時會有多種解法，這時，要認真思考和分析，靈活選擇最佳方法，進而能夠?qū)?shù)學產(chǎn)生興趣。