同一未知數(shù)表示多個(gè)未知量的方法在數(shù)學(xué)解題上的應(yīng)用

羅運(yùn)友

摘 要：同一未知數(shù)表示多個(gè)未知量的方法在解決矩形、一次函數(shù)和二次函數(shù)等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，能夠降低學(xué)生解題的思維難度，化解由多個(gè)未知量帶來(lái)的解題障礙，充分提高學(xué)生解題能力。

關(guān)鍵詞： 同一個(gè)未知數(shù)；矩形；一次函數(shù)；二次函數(shù)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）10-037-01

初級(jí)中學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，常常會(huì)遇到一個(gè)問(wèn)題當(dāng)中有多個(gè)相關(guān)聯(lián)的未知量的問(wèn)題，因?yàn)槲粗枯^多，學(xué)生解決這類問(wèn)題時(shí)感覺(jué)茫然、棘手、緊張、無(wú)從下手，增加了解題的思維難度和畏難情緒。我們得教會(huì)學(xué)生掌握和應(yīng)用“同一未知數(shù)表示多個(gè)未知量的方法”進(jìn)行解題，以幫助學(xué)生克服和解決這類問(wèn)題。

先用例題解釋“同一未知數(shù)表示多個(gè)未知量的方法”的含義。例如：用一根長(zhǎng)為24㎝的鐵絲圍城一個(gè)斜邊長(zhǎng)是10㎝的直角三角形，則兩直角邊長(zhǎng)分別是多少？設(shè)其中一直角邊長(zhǎng)為X㎝，，則另一條直角邊長(zhǎng)度為 （24—10—X） =（14—X）㎝。這樣，直角三角形的三邊，都用數(shù)量表示出來(lái)了。再用直角三角形的勾股定理建立方程，即為X+（14—X）=10，解這個(gè)方程，就可求得兩直角邊長(zhǎng)，問(wèn)題得到解決。這里應(yīng)用到同一未知數(shù)X及其代數(shù)式14—X表示兩直角邊的長(zhǎng)，用的是同一個(gè)未知數(shù)表示兩個(gè)或兩個(gè)以上未知量的方法，再加上方程思想，問(wèn)題就得到圓滿的解答。

同一未知數(shù)表示多個(gè)未知量的方法在數(shù)學(xué)解題上有廣泛的應(yīng)用。

一、在矩形中的應(yīng)用

例1.在矩形ABCD中，E是BC中點(diǎn)， 將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交CD于G點(diǎn)，若AB=3，AD=4，求線段GC的長(zhǎng)。

這里應(yīng)用X及其代數(shù)式表示了GC、AG和DG這三個(gè)未知量的長(zhǎng)度，為學(xué)生進(jìn)一步應(yīng)用勾股定理，建立方程，求出GC的長(zhǎng)度，有效掃除了未知量較多而導(dǎo)致思維障礙上的難度，為學(xué)生增強(qiáng)了解題的自信心。

二、在一次函數(shù)中的應(yīng)用

例2.A城有肥料200噸，B城有肥料300噸，現(xiàn)要把這些肥料全部運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)，從A城運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)的運(yùn)費(fèi)單價(jià)分別為20元/噸和25元/噸，從B城運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)的運(yùn)費(fèi)單價(jià)15元/噸和24元/噸?，F(xiàn)在C鄉(xiāng)需要肥料240噸，D鄉(xiāng)需要肥料260噸，怎樣調(diào)運(yùn)肥料，可使總運(yùn)費(fèi)最少？

解析：本題已知和未知的數(shù)量都較多，學(xué)生解題的難度較大，引導(dǎo)學(xué)生畫出如下關(guān)系圖形，用同一未知數(shù)x及其代數(shù)式把全部未知量都表示出來(lái)，就會(huì)清晰、明了，該如何求解。圖表如下。

題中的未知量有A城運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)的肥料各多少噸，B城運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)的又各是多少噸，然后才能計(jì)算總運(yùn)費(fèi)。若設(shè)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的肥料有X噸，則可用X的代數(shù)式表示A城到D鄉(xiāng)， B城到C鄉(xiāng)， B城到D鄉(xiāng)的肥料分別為（200—X）噸、 （240—X）噸、（60+X）噸 ，又因?yàn)閄表示從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的肥料噸數(shù)，所以X的取值范圍是0 ≤ X ≤ 200，總的運(yùn)費(fèi)表示為20X+25（200—X）+15（240-X）+24[300—（240—X）].

設(shè)總的費(fèi)用為y， 則有y=20X+25（200—X）+15（240-X）+24（60+X），（0 ≤X≤ 200）?；?jiǎn)得y=4X+10040，（0≤X≤200），

這就變成了一次函數(shù)，由一次函數(shù)知識(shí)可以知道，當(dāng)取X=0時(shí)，總的運(yùn)費(fèi)就最少為y=10040（元）。本題應(yīng)用了一個(gè)未知數(shù)及其代數(shù)式把多個(gè)未知的數(shù)量表示出來(lái)，再利用一次函數(shù)上的知識(shí)，輕松順利完成了此題的解答。