Lingo軟件在數(shù)學建模中的應用

雷佳賓（烏魯木齊職業(yè)大學基礎教育部，新疆烏魯木齊830002）

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Lingo軟件在數(shù)學建模中的應用

雷佳賓
（烏魯木齊職業(yè)大學基礎教育部，新疆烏魯木齊830002）

摘要：本文針對近幾年的三道全國大學生數(shù)學建模競賽（大專組）的賽題為例，利用Lingo軟件（14.0版）的建模語言對所求的數(shù)學規(guī)劃問題進行描述，展示其模型求解，優(yōu)化分析等強大的功能。

關鍵詞：Lingo；數(shù)學規(guī)劃；數(shù)學建模

Abstract:Taking the three mathematical problems in national college students mathematics modeling contest (College Group) in recent years as examples, this paper describes the mathematical programming problems by using Lingo software (14 Edition) modeling language, to show its powerful functions of solving the problem and the optimization analysis.

Keywords:Lingo; mathematical programming; mathematical modeling

數(shù)學建模（Mathematical Modeling）是研究現(xiàn)實世界中特定的對象，為達到既定目的，對實際問題作出合理的假設，建立相應的數(shù)學模型，采取現(xiàn)有的數(shù)學方法及工具，得到一個數(shù)學結果的過程[1]。全國大學生數(shù)學建模競賽（Contemporary Unde

rgraduate Mathematical Contest in Modeling）是一項面向國內外的高校學生的基礎性學科競賽，創(chuàng)辦于1992年，每年一屆，由中國工業(yè)與應用數(shù)學學會主辦。現(xiàn)在已成為國內高校規(guī)模最大的學科競賽，2015年有來自1326所院校共85000多名學生報名參加了競賽。

Lingo軟件是Linus Schrage教授（芝加哥大學）開發(fā)的一款用于求解最優(yōu)化問題的程序包[3]。目前Lingo最新的產品已經有Lingo14.0版本?？v觀近幾年來的數(shù)學建模競賽題目,都是一些帶有大量數(shù)據(jù)的實際問題，需要對數(shù)據(jù)進行分類分層統(tǒng)計，數(shù)學規(guī)劃及最優(yōu)化處理，往往建立的數(shù)學模型的計算較為復雜，而matlab、mathmatica等專業(yè)的數(shù)學軟件很難在短時間里讓非專業(yè)的學生掌握應用。Lingo軟件的最大特點就是：程序語法簡單，計算結果的精度高、修改較為容易，便于模型的建立和求解。本文以2010年C題（輸油管的布置問題）中的最短路徑及最小費用管線布置方案、2011年D題（天然腸衣搭配問題）中的提高生產效率和原料使用率最優(yōu)搭配方案、2015年D題（眾籌筑屋規(guī)劃方案設計）中以滿足最好的眾籌意愿的規(guī)劃設計等問題為例，較好地應用Lingo建立模型求解，展示其求解數(shù)學模型及優(yōu)化運算的強大功能。

一、2010年“高教社杯”全國大學生數(shù)學建模競賽C題

問題產生的背景是在鐵路線上的同側有兩家煉油廠，需要建立運送管線，達到規(guī)劃設計所花費用最少，使管道運行的經濟效益最高的目標。

問題二進行具體的設計（具體數(shù)據(jù)見原題），根據(jù)三個公司的不同資質，我們查閱了大量的資料，選擇了權重系數(shù)為0.7：0.15：0.15，即：21×0.7+24×0.15+20×0.15=21.3。以C為坐標原點，以AC所在的直線為x軸，以CD所在的直線（即鐵路線）為y軸，建立平面直角坐標系。（圖略）

從而得到目標函數(shù)S=（|AP|+|PE|+|PF|）×7.2+|BE|×（7.2+21.3）

即：

二、2011年“高教社杯”全國大學生數(shù)學建模競賽D題

賽題的背景是應腸衣加工企業(yè)的需求，希望能夠開發(fā)一套較為智能的計算軟件程序，讓企業(yè)的操作員原材料的尺寸輸入計算機，經過軟件智能計算直接得出滿足要求的原材料下料方案。最終的目的是達到原材料的充分運用，形成的成品的捆數(shù)越多，最短長度的越少其方案就越好，并在30分鐘內產生方案。條件是總長度允許誤差范圍為[-0.5，0.5]，總根數(shù)允許誤差范圍為[-1，0]；剩余原料可以降級使用。采取的總體方案是：首先根據(jù)成品中第一種規(guī)格越多越好的要求，得到最優(yōu)解；然后把第一步剩余的原材料納入第二種規(guī)格，得到最優(yōu)解；最后把第二步多余的原材料在納入第三種規(guī)格，求最優(yōu)解。

決策目標：總捆數(shù)maxZ1=x1+x2+x3用不同的搭配方式捆綁出各種規(guī)格最大成品數(shù)分別：X1max；X2max；X3max其中符號說明：

x1：指規(guī)格（3-6.5）的成品（單位：捆）。

x2：指規(guī)格（7-13.5）的成品（單位：捆）。

x3：指規(guī)格（14-∞）的成品（單位：捆），∞表示沒有上限，但實際長度小于26米。

r1i：指規(guī)格（3-6.5）中每檔利用根數(shù)，i=1，……，8（單位：根）。

r2i：指規(guī)格（7-13.5）中每檔利用根數(shù)，i=1，……，14（單位：根）。

r3i：指規(guī)格（14-∞）中每檔利用根數(shù)，i=1，……，20（單位：根）。

M1:指規(guī)格（3-6.5）從（7-13.5）規(guī)格中降級使用后的根數(shù)（單位：捆）。

M2:指規(guī)格（7-13.5）從（14-∞）規(guī)格中降級使用后的根數(shù)（單位：捆）。

下面分別在三種情況下求解；約束條件：為滿足廠方要求，由表1和表2分別得三種規(guī)格的約束條件。將第一種規(guī)格的構成的整數(shù)非線性規(guī)劃模型（加上整數(shù)約束）輸入Lingo如下：max=x1;

即在滿足規(guī)格及要求的情況下，3m的用了36根，3.5m的用了59根，由最優(yōu)解可得各檔用去的根數(shù)。這種規(guī)格的成品共捆成14捆，再捆數(shù)最多的情況下，最優(yōu)解時使用的原料最多，原料的利用率也達到最值。

然后按照類似的步驟，分別對另外兩種規(guī)格的進行整數(shù)非線性規(guī)劃進行求解，然后再用余料分析代入Lingo模型中計算（原料出現(xiàn)剩余可以降級使用的問題）。通過計算的結果可得余料降級使用所得到成品數(shù)比余料為降級使用所得到成品數(shù)多，因此采用余料降級使用的方案好。本例中利用整數(shù)非線性規(guī)劃模型可以利用Lingo直接求解出來，而且約束條件和目標函數(shù)都很好列出，并且通俗易懂。

三、2015年“高教社杯”全國大學生數(shù)學建模競賽D題

眾籌筑屋是屬于“互聯(lián)網+房地產”時代的新型的房地產形式。題中的問題二通過對參籌者進行抽樣調查，為了盡量滿足參籌者的購買意愿設計建設規(guī)劃方案。問題三要求投資回報率達到25％以上的眾籌項目才會被成功執(zhí)行。即是說在問題二的基礎上既要照顧到參籌者的意愿，還有保證項目的商業(yè)價值。其中題目中數(shù)據(jù)國家規(guī)定的最大容積率為2.28，土地的總面積為102077.6，根據(jù)地形限制和申請規(guī)則，城建部門規(guī)定的11種房型最低套數(shù)約束和最高套數(shù)約束等詳細數(shù)據(jù)參見原題。

按照題目要求，利用Lingo程序較好地解決好了這兩個問題：問題二中的滿意度的最大滿意率，然后約束每種房型的最大最小值，國家最大容積率的規(guī)定等，編寫以下Lingo程序運行即可得到答案：

問題三是在問題二的基礎上進一步優(yōu)化項目的規(guī)劃，增加投資回報率的條件，首先計算出每種房型的投資回報率后，增加一條回報率大于0.25的約束條件，即得出最優(yōu)的規(guī)劃方案。增加Lingo程序如下。

(x1*0.28 +x2*0.13 +x3*0.15 +x4*0.17 +x5*0.17 +x6*0.19 + x7*0.22+x8*0.12-x9*0.17-x10*0.14-x11*0.02)/(x1+x2+x3+x4+ x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11)＞=0.25;

表1　參籌登記網民對各種房型的滿意比例

四、結束語

根據(jù)這幾年的帶隊參賽經驗，全國大學生數(shù)學建模競賽特別是大專組（高職組）的C題和D題，都是需要用數(shù)學規(guī)劃來解決問題：如生產計劃的制定、原材料的搭配方案、人力資源的配置，最優(yōu)方案的設計等問題，都是建立最優(yōu)化數(shù)學模型，然后用Lingo軟件求解實現(xiàn)。而數(shù)學建模競賽的賽題都是來自工程技術和管理科學等方面經過適當簡化加工的實際問題，所以在經濟社會生產實踐等領域，Lingo軟件也有很廣泛的應用。

參考文獻

[1]姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]袁新生，廖大慶.用Lingo6.0求解大型數(shù)學規(guī)劃[J].工科數(shù)學, 2001（5）.

[3]金晶晶.Lingo軟件在數(shù)學建模競賽中的應用[J].十堰職業(yè)技術學院學報，2010（4）.

作者簡介：雷佳賓（1981-），男，四川南充人，烏魯木齊職業(yè)大學講師，主要從事應用數(shù)學的研究。

中圖分類號：G642

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）08-0242-03