“一題多解、小題大做”鍛煉思維品質(zhì)

☉江蘇省平潮高級(jí)中學(xué)保正玉

“一題多解、小題大做”鍛煉思維品質(zhì)

☉江蘇省平潮高級(jí)中學(xué)保正玉

“小題大做”，是我們平時(shí)在解題訓(xùn)練中要養(yǎng)成的一個(gè)習(xí)慣.“小題”不僅僅是指填空、選擇這類小巧靈活的客觀性題型，也指比較容易掌握和解決的題；“大做”則是對(duì)這樣的“小題”一定要重視，“小題”是學(xué)習(xí)和掌握基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的極好載體，通過解剖“小題”，更有利于掌握基礎(chǔ)，也是攻克大題目、難題目必不可少的階梯.本文試圖從一題多解和一題多變兩個(gè)方面“小題大做”，以期對(duì)讀者有所幫助.

小題：不等式x2+（m-1）x+1≥0對(duì)一切x∈（0，2］都成立，則m的取值范圍是_________.

本題為含參一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立問題.此類問題是不等式的重要題型，也是我們經(jīng)常會(huì)遇到問題，由于其中既含有參數(shù)又含有變量，能有效考查同學(xué)們分析問題、解決問題的能力.

一題多解，織“法”成網(wǎng)，串“解”成鏈，“小題”大做，借題發(fā)揮，既可以培養(yǎng)我們的發(fā)散思維能力，又可以提高我們的創(chuàng)新能力.

一、從集合的角度切入

思路導(dǎo)航1：若不等式f（x，m）＞0的解集為B，對(duì)任意x∈A，則不等式f（x，m）＞0?A?B.

解法1：若判別式Δ=（m-1）2-4≤0，即-1≤m≤3時(shí)，不等式x2+（m-1）x+1≥0對(duì)一切x∈（0，2］都成立.

若Δ=（m-1）2-4＞0，即m＜-1或m＞3時(shí)，不等式x2+（m-使不等式x2+（m-1）x+1≥0對(duì)一切x∈（0，2］都成立，只需（0，2］?

綜上可知，m的取值范圍是［-1，+∞）.

解題反思：分判別式Δ≤0和Δ＞0兩種情況討論，不等式ax2+bx+c＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成

二、從方程的思想切入

思路導(dǎo)航2：不等式x2+（m-1）x+1≥0對(duì)一切x∈（0，2］都成立?方程f（x）=x2+（m-1）x+1=0無實(shí)根、兩等根、兩不等根小于或等于0、兩不等根大于或等于2.

解法2：若方程無實(shí)根，則判別式小于0，即（m-1）2-4＜0，解得-1＜m＜3.

若方程有兩個(gè)相等實(shí)根，則判別式等于0，即（m-1）2-4=0，解得m=-1或m=3.

若方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，且兩根大于或等于2，則

綜上可知，m的取值范圍是［-1，+∞）.

解題反思：充分借助圖像，利用二次函數(shù)、二次方程和二次不等式三者之間的關(guān)系，是求解的關(guān)鍵.

三、從函數(shù)的思想切入

思路導(dǎo)航3：運(yùn)用函數(shù)思想將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，是處理此類問題的重要方法.f（x）=x2+（m-1）x+1，則f（x）≥0對(duì)一切x∈（0，2］都成立?f（x）在x∈（0，2］上有［f（x）］min≥0.

綜上可知，m的取值范圍是［-1，+∞）.

解題反思：f（x，m）≥0對(duì)x∈A恒成立?［f（x，m）］min≥0；f（x，m）≤0對(duì)x∈A恒成立?［f（x，m）］max≤0.對(duì)于較復(fù)雜的函數(shù)最值問題?？梢越柚鷮?dǎo)數(shù)法求解.

四、從數(shù)形結(jié)合的思想切入

思路導(dǎo)航4：如果不等式中涉及的函數(shù)、代數(shù)式對(duì)應(yīng)的圖像、圖形較易畫出時(shí)，可通過圖像、圖形的位置關(guān)系建立不等式求得參數(shù)范圍.f（x，m）＞g（x，m）對(duì)x∈A恒成立?對(duì)x∈A，函數(shù)y=f（x，m）的圖像恒在函數(shù)y=g（x，m）的圖像的上方.

解法4：不等式x2+（m-1）x+1≥0對(duì)x∈（0，2］恒成立?不等式x2+1≥（1-m）x對(duì)x∈（0，2］恒成立，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f1（x）=x2+1（0＜x≤2）與f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的圖像，則由題意知，函數(shù)f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的圖像與函數(shù)f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的圖像相切或函數(shù)f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的圖像恒在函數(shù)f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的圖像的上方.

當(dāng)1-m≤0，即m≥1時(shí)，函數(shù)f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的圖像顯然恒在函數(shù)f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的圖像的上方；

當(dāng)1-m＞0，即m＜1時(shí)，若函數(shù)f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的圖像與函數(shù)f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的圖像相切，則x2+1=（1-m）x，即x2+（m-1）x+1=0的判別式Δ=（m-1）2-4=0，所以m=-1，此時(shí)x=1∈（0，2］，所以m=-1時(shí)，函數(shù)f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的圖像與函數(shù)f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）的圖像相切，易知切點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）；若函數(shù)f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的圖像在函數(shù)f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）圖像的上方，當(dāng)且僅當(dāng)2＞f2（1），即2＞1-m，所以m＞-1，所以-1＜m＜1時(shí)，函數(shù)f1（x）=x2+1（0＜x≤2）的圖像在函數(shù)f2（x）=（1-m）x（0＜x≤2）圖像的上方.

綜上可知，m的取值范圍是［-1，+∞）.

解題反思：數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.利用此方法從幾何的角度解不等式恒成立問題，關(guān)鍵是解讀不等式所表示的幾何意義.

五、從分離參數(shù)的思想切入

思路導(dǎo)航5：若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解.運(yùn)用不等式的相關(guān)知識(shí)不難推出如下結(jié)論：若對(duì)于x取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)都有f（x）＞g（a）恒成立，則g（a）＜f（x）min；若對(duì)于x取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)，都有f（x）＜g（a）恒成立，則g（a）＞f（x）max.（其中f（x）max和f（x）min分別為f（x）的最大值和最小值.

解法5：不等式x2+（m-1）x+1≥0對(duì)一切x∈（0，2］都g（x）在（0，1］上是增函數(shù)，在［1，2］上是減函數(shù)，

所以［g（x）］max=g（1）=-1，又不等式x2+（m-1）x+1≥0對(duì)一切x∈（0，2］都成立?m≥［g（x）］max，所以m的取值范圍是［-1，+∞）.

解題反思：分離參數(shù)法實(shí)際就是函數(shù)思想的應(yīng)用，即通過分離得到形如m≤f（x）或m≥f（x）的不等式，從而將不等式恒成立問題通過求函數(shù)的最值來解答（變形的目的）.

綜上，以上典型例題所給出的解法和分析點(diǎn)評(píng)就是處理恒成立問題的“基本方法”.如果在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生如此展開思考，指導(dǎo)學(xué)生如法進(jìn)行解題實(shí)踐，那么經(jīng)過長期訓(xùn)練，就能使學(xué)生在潛移默化中養(yǎng)成一種分析思考與歸納總結(jié)的習(xí)慣.最終，當(dāng)學(xué)生獨(dú)立面對(duì)一類新的恒成立問題的研究對(duì)象時(shí)，就不會(huì)感到無從下手.G