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      攻克一例,完解一類(lèi)

      2016-05-15 03:29:38浙江省余姚中學(xué)龔鳳
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年7期
      關(guān)鍵詞:化簡(jiǎn)等式本題

      ☉浙江省余姚中學(xué)龔鳳

      攻克一例,完解一類(lèi)

      ☉浙江省余姚中學(xué)龔鳳

      在高中平面向量的學(xué)習(xí)中,經(jīng)常會(huì)遇到以三角形為載體,且涉及一串向量線(xiàn)性和的問(wèn)題,初次接觸,使人會(huì)有無(wú)從下手的感覺(jué).本文試圖通過(guò)對(duì)典型例題的多種解答,來(lái)揭示問(wèn)題的特點(diǎn)和本質(zhì)所在,同時(shí)找到這類(lèi)問(wèn)題的最佳解法.

      引例△ABC的面積為12,P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且則△ABP的面積為().

      A.3B.4C.6D.9

      分析:本題的難點(diǎn)是如何利用所給條件來(lái)確定P點(diǎn)的位置,為此,可考慮用坐標(biāo)法來(lái)解決.鑒于本題是選擇題,又由題意獲知,凡面積為12的三角形,只要符合條件,所得到的△ABP的面積是相等的,因此可構(gòu)造特殊三角形,以簡(jiǎn)化解題的運(yùn)算過(guò)程.

      解法一:如圖1,設(shè)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),B(-2,0),C(0,6),又設(shè)P(x,y),則=(2-x,-y),=(-2-x,-y),2P—→C=(-2x,12-2y),3=(-12,0).

      圖1

      注意到P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,故可得△ABP的面積為6.

      如果把本題改成證明題或解答題,解法一就不適用了,須采取如下解法.

      解法二:不失一般性,如圖2,可設(shè)A(a,0),B(b,0),C(0,h),又設(shè)P(x,y),則

      圖2

      解法二較之解法一,在運(yùn)算上雖麻煩了一些,但還屬于可承受的范圍;另外,讀者必須明白,當(dāng)A或B是鈍角時(shí),解法二依然是成立的.到此,讀者自然會(huì)產(chǎn)生這樣的一個(gè)疑問(wèn),不利用坐標(biāo)法而采用向量法能否解決本題呢?回答是肯定的.

      圖3

      通過(guò)對(duì)上述問(wèn)題的解決,不難得到兩條經(jīng)驗(yàn)性的結(jié)論:(1)采用坐標(biāo)法解題的關(guān)鍵是坐標(biāo)運(yùn)算的可解性;(2)采用向量法解題的關(guān)鍵是條件等式的化簡(jiǎn),從中尋找向量間的關(guān)系.因此,為了獲得更佳的解法,我們需要在兩者之間做一選擇,請(qǐng)看下面的例題.

      分析:從向量的條件等式入手去解題,似乎有較大困難,故先采用坐標(biāo)法去求解.

      解法一:如圖4,設(shè)A(a,0),B(b,0),C(0,h),又設(shè)P(x,y),則=(x-a,y),2=(2x-2b,2y),=(3x,3y-3h).

      圖4

      由此可知,點(diǎn)P在中位線(xiàn)MN上,此時(shí)已無(wú)需深究P點(diǎn)的橫坐標(biāo),立即可得C—→Q=2m.

      然而,若采用向量法去求解,難度會(huì)驟然增大,不僅涉及向量的一些新知識(shí),還要依賴(lài)于一些平面幾何的知識(shí).

      由題設(shè)知,2(P—→A+P—→B+P—

      →C)=P—→A-P—

      →C=C—→A,于是得到P—→G=

      下面畫(huà)圖.如圖5,先畫(huà)出重心G,再畫(huà)出P點(diǎn)位置,CP的延長(zhǎng)線(xiàn)交邊AB于點(diǎn)Q,PG的延長(zhǎng)線(xiàn)交邊AB于點(diǎn)D.

      圖5

      不難看出,如若變動(dòng)m、n在等式中的位置或變動(dòng)所求結(jié)果,并賦值予m、n,我們就能構(gòu)造出許多這類(lèi)問(wèn)題,有興趣的讀者不妨一試.最后,必須指出,遇到此類(lèi)問(wèn)題,坐標(biāo)法總是可行的,不過(guò)當(dāng)你對(duì)條件等式的化簡(jiǎn)確有把握時(shí),向量法也不失是一種好方法.F

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