莫讓浮云遮望眼，撩開霧紗見真顏
——一道解析幾何模擬試題的深度探尋

☉浙江省杭州師范大學(xué)附屬中學(xué)蘇立標(biāo)

莫讓浮云遮望眼，撩開霧紗見真顏
——一道解析幾何模擬試題的深度探尋

☉浙江省杭州師范大學(xué)附屬中學(xué)蘇立標(biāo)

一、問題的呈現(xiàn)

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)A作AP//OM交橢圓C于點(diǎn)P，求證：BP//ON.

圖1

（Ⅱ）證法1：如圖2所示，由題意可設(shè)直線OM，ON的方程為y=kOMx，y=kONx.

圖2

【點(diǎn)評(píng)】本試題雖然是一道模擬試題，但題目立意之新、內(nèi)涵之廣、選材之妙不得不令人嘆服.以新穎的視角、創(chuàng)新的手法進(jìn)行精心地構(gòu)思，彰顯新課程的理念，所以是一道創(chuàng)新而不落俗套的好試題，有利于甄別學(xué)生的思維層次，具有較好的區(qū)分度.這個(gè)問題反1（a＞b＞0）一組性質(zhì)，不僅設(shè)計(jì)獨(dú)特新穎，而且具有推廣與引申的價(jià)值，可以演變出一組妙趣橫生的結(jié)論.（本文中的字母e均為離心率）

二、問題的逆向探究

“探幽重門深鎖無尋處，疑有碧桃千樹花.”對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問題，需要多角度的剖析、探究.對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問題的探究思考，最基本的切入點(diǎn)就是對(duì)條件與結(jié)論進(jìn)行變式思考，可以考慮逆命題是否成立.

圖3

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若橢圓C上的點(diǎn)P滿足：AP//OM，且BP//ON，

三、問題的一般化探究

為了能把問題看得更清楚些，我們往往考慮把問題進(jìn)行一般化情形研究，容易得到下列結(jié)論：

P，求證：BP//ON.

【分析】由于kPAkPB=e2-

1，所以只需要證明kOMkON=e2-1.

圖4

四、問題的本原探究

1.蘇立標(biāo).博觀而約取，厚積而薄發(fā)——以e2-1為定值的圓錐曲線高考試題賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（3）.G