解答空間幾何問題的幾個策略

☉江蘇省如皋市第二中學王曉紅

解答空間幾何問題的幾個策略

☉江蘇省如皋市第二中學王曉紅

立體幾何是高考主干知識之一，在歷年各省市的高考試卷中常以一大一小兩種類型題出現(xiàn)，其中主要涉及由三視圖求幾何體的面積或體積、空間平行或垂直關系的判斷，以及空間距離、空間角問題的求解.試題在突出對空間想象能力考查的同時，關注對平行、垂直的探究，關注對條件和結論不完備情形下開放性問題的探究.熟練掌握此類問題的常規(guī)處理策略，常可快速找到問題的突破口.

本文將從解題思路的尋找入手，就此類問題的解答提幾點建議，供同學們參考.

一、構造特殊模型突破三視圖的空間想象

對學生的空間想象能力有較高的要求，考生通過讀三視圖，想象真實幾何體，并計算幾何體的表面積或體積等.三視圖看起來簡單，但還原幾何體有一定的難度.

例1一個棱錐的三視圖如圖1所示，則該棱錐的全面積（單位：cm2）為（）.

圖1

解析：空間三視圖問題的考查，多以特殊幾何體為背景，解答此類問題時，若能正確構造出原幾何體，則可將三視圖中的信息準確直觀地反映出來.構造長方體，則題目中的三棱錐如圖2中的S-ABC，由圖易知15，所以三棱錐S-ABC的全面積為

圖2

點評：準確地將三視圖還原于常規(guī)幾何體中，是求解此類問題的關鍵，所謂的常規(guī)幾何體通常指長方體、正方體等.要求空間幾何體的體積，首先要由三視圖還原空間幾何體，同時還要由視圖中標注的數(shù)字反映出空間幾何體的幾何元素的數(shù)量，解題中就是要把這種數(shù)量關系找出，這就需要空間想象能力.特別提醒：畫三視圖時，要注意看到的輪廓線畫成實線，看不到的輪廓線畫成虛線.

二、熟練把握相關原理以不變應萬變

例2如圖3，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD的兩組對邊均不平行.

①在平面PAB內不存在直線與DC平行；

②在平面PAB內存在無數(shù)多條直線與平面PDC平行；

③平面PAB與平面PDC的交線與底面ABCD不平行；

圖3

上述命題中正確命題的序號為_________________.

解析：是否存在問題的常用處理策略：先假設所給結論成立，再逆向判斷其與所給條件相符或矛盾即可.

①假設在平面PAB內存在直線l與DC平行，由線面平行的判斷可知CD平行于面PAB.又CD?面ABCD，面ABCD∩面PAB=AB，所以CD∥AB，與已知條件矛盾，故在平面PAB內不存在直線與DC平行，①正確.

②由條件知面PAB與面PCD相交，設交線為m，作平行于m的平面與兩平面均相交，易知兩交線平行，而這樣的平面有無數(shù)個，故存在無數(shù)條交線相互平行，故②正確.

③假設面PAB與面PCD的交線為n，若直線n與底面平行，則n∥AB，n∥CD，所以AB∥CD，與條件矛盾，故平面PAB與平面PDC的交線與底面ABCD不平行，故③正確.

答案：①②③.

點評：空間平行關系包括線線平行、線面平行、面面平行，三種關系可以相互推導.本題的順利求解，源于對空間平行關系的靈活應用.

三、動中尋定探究動態(tài)幾何問題

例3在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在底面ABCD上移動，且滿足B1P⊥D1E，則線段B1P的長度的最大值為（）.

解析：對于動態(tài)問題的解答要抓住其中不變的因素，如本題中點P為面ABCD內的動點，但B1P⊥D1E，因此B1P在一個與D1E垂直的定面上.找到這個定面即可順利解決問題.

圖4

如圖4，取CC1的中點F，連接B1F并延長交BC的延長線于點G，連接AG交CD于點H，連接AB1.

易知D1E⊥AB1，D1E⊥B1F，所以D1F⊥面AB1G，即點P在線段AH上.

又△GCF∽△GBB1，△GHC∽△GAB，最大值為3，故選D.

點評：定線與動線垂直，即動線在與定線垂直的定面內，找到這個定面使得問題順利求解.類似地，若動線與已知面平行，則動線在與已知面平行的定面內等.只要抓住這些動態(tài)問題中的不變因素，即可找到問題的求解思路.

四、用運動變化的觀點解決空間圖形問題

考綱對考生的空間想象能力的考查提出了“能夠想象幾何圖形的運動和變化情況”的更高要求.因此，立體幾何題中除固定的線線、線面、面面關系外，還滲透了一些“動態(tài)”的點、線、面元素，給“靜態(tài)”的立體幾何賦予了新的活力，新的亮點.

例4如圖5，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ABC折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則（）.

A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α

解析：設∠ADC=θ，AB=2，則由題意知AD=BD=1，在空間圖形中，設A′B=t，在△A′CB中，

圖5

圖6

在空間圖形中，如圖6，過點A′作A′N⊥DC，過點B作BM⊥DC，垂足分別為N、M，過點N作NP∥=MB，連接A′P，所以NP⊥DC，則∠A′NP就是二面角A′-CD-B的平面角，所以∠A′NP=α.

在Rt△A′ND中，DN=A′D·cos∠A′DC=cosθ，A′N= A′Dsin∠A′DC=sinθ.

同理，BM=PN=sinθ，DM=cosθ，故BP=MN=2cosθ.

顯然BP⊥面A′NP，故BP⊥A′P.

在Rt△A′BP中，A′P2=A′B2-BP2=t2-（2cosθ）2=t2-4cos2θ.

因為α、∠A′DB∈［0，π］，而y=cosx在［0，π］上為減函數(shù)，所以α≤∠A′DB，故選B.

點評：本題主要考查立體幾何中的動態(tài)問題，屬于較難題，由于△ABC的形狀不確定，∠A′CB與α的大小關系也是不確定的，再根據二面角的定義，可知∠A′DB≥α，當且僅當AC=BC時等號成立，以立體幾何為背景的創(chuàng)新題是浙江高考數(shù)學試卷的熱點問題之一，解決此類問題需在平時注重空間想象能力的培養(yǎng)，加強此類問題的訓練.

五、借助空間向量尋求幾何問題代數(shù)化處理

由于空間向量的引入，在立體幾何的教學中出現(xiàn)了重視計算，忽視空間想象能力培養(yǎng)，削弱立體幾何推理教學的現(xiàn)象，這使得考生推理證明能力與空間想象能力有所下降，這就要求我們在教學中對必修階段立體幾何初步的定位要因學生情況而異.

例5如圖7所示的幾何體中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的邊長為2，E為棱A1D的中點，平面ABE分別與棱C1D、C1C交于點F、G.

圖7

（1）求證：A1D⊥平面ABE；

（2）求二面角D-EF-B的大小，并求CG的長.

解析：（1）因為AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD.因為ABCD是正方形，所以AB⊥AD.

以AB、AD、AA1分別x、y、z軸建立空間直角坐標系，則由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），=（0，-2，2）（0，1，1），（2，0，0）.

（2）因為A1D⊥平面ABE，且A1D?平面EFD，所以平面EFD⊥平面ABE.

因為平面ABE即為平面BEF，所以二面角D-EF-B的大小為90°.

點評：空間向量的引入使立體幾何問題的求解更加程序化.通過建立空間直角坐標系，引入向量來解決空間垂直、空間角、空間距離問題，大大降低了問題的難度.如空間垂直問題可利用向量垂直原理，即數(shù)量積為0求解.二面角問題可借助其與兩面法向量夾角相等或互補的原理求解.

總之，在空間幾何問題的解答中，我們要關注“為什么要用這種解法，這種解法是如何想到的”，只有弄清楚這一問題，在解題時才能迅速找到切入點.因此，在平時解題訓練中，要注重常用公式、性質、定理的變式應用，注重對?？碱}型的歸納、常用方法的總結，方可以不變應萬變.F