例析與導數(shù)相關(guān)的參數(shù)問題

☉江蘇省海門實驗學校劉九華

例析與導數(shù)相關(guān)的參數(shù)問題

☉江蘇省海門實驗學校劉九華

導數(shù)和含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題是歷年高考命題的熱點，也是難點.試題主要有以下兩類：一是利用導數(shù)解決有關(guān)含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題；二是已知含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍的問題.下面筆者結(jié)合平時的教學實踐談談這兩類問題，歡迎指正.

一、利用導數(shù)解決含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題

利用導數(shù)解決含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題是?？碱}型，傳統(tǒng)解法要求考生的思維極其嚴密才能討論全面.筆者根據(jù)教學經(jīng)驗，要解決這類問題，首先明確討論的三個基本點:1.導函數(shù)是否存在零點；2.若導函數(shù)存在零點，零點是否在定義域內(nèi)；3.若導函數(shù)有零點，零點是否相等.有時可能是上述幾種因素的綜合考查，下面舉例說明.

①當a＜0時，由f′（x）=0，解得x=a或x=1，a?（0，+∞），在（0，1）上，f′（x）＜0，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）.

②當a=0時，f′（x）=x-1，在（0，1）上，f′（x）＜0，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）.

③當0＜a＜1時，在（0，a）和（1，+∞）上，f′（x）＞0，在（a，1）上f′（x）＜0，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a，1）.

⑤當a＞1時，在區(qū)間（0，1）和（a，+∞）上，f′（x）＞0，在區(qū)間（1，a）上f′（x）＜0，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）和（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a）.

綜上所述：當a≤0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）；

當0＜a＜1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a，1）；

當a=1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當a＞1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）和（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a）.

點評：此例導函數(shù)有零點，但需考慮零點是否落在定義域內(nèi)與導函數(shù)有零點但需要討論零點是否相等的問題的結(jié)合.解題中抓住主要問題，確定分類標準，逐步擊破，才能快速、正確地解題.

二、已知函數(shù)單調(diào)性利用導數(shù)求參數(shù)范圍問題

已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍是高中數(shù)學重點考查的題型之一.關(guān)于此類問題在各類高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，變化也多.那么如何簡單、準確地解決這類問題呢？一般有以下幾種思路可以考慮.

（一）分離參數(shù)法

故a的取值范圍是a≥3.

點評：若a≥f（x）對x∈D恒成立，則a≥f（x）max；若a≤f（x）對x∈D恒成立，則a≤f（x）min.求函數(shù)的最值一般要用到函數(shù)的單調(diào)性.

（二）數(shù)形結(jié)合法

例3已知函數(shù)f（x）=lnx-a2x2+ax（a∈R）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

解法1：因為f（x）是區(qū)間上（1，+∞）減函數(shù)，

所以f′（x）≤0在上（1，+∞）恒成立.

即2a2x2-ax-1≥0在（1，+∞）上恒成立.但此時無法分離參數(shù)a，分離參數(shù)法不奏效.因為2a2x2-ax-1≥0在（1，+∞）上恒成立，令g（x）=2a2x2-ax-1，

當a=0時，-1＜0，故a=0不滿足題意.

當a≠0時，2a2＞0，Δ=9a2＞0.

故由二次函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合知，

（三）分類討論法

點評：當無法分離參數(shù)時，可用分類討論法求參數(shù)的取值范圍.但是，若導函數(shù)與二次函數(shù)有關(guān)，用數(shù)形結(jié)合法能更簡便、快速地解決問題，比分類討論法更方便.

在每年的高考試題中都會出現(xiàn)與函數(shù)單調(diào)性、導數(shù)有關(guān)的問題.掌握了以上兩種題型及常規(guī)處理方法，才能對新穎題型的處理游刃有余，同時能培養(yǎng)學生思維的深刻性和靈活性.G