淺談?chuàng)Q元法的應(yīng)用及應(yīng)用中常見(jiàn)問(wèn)題

楊慧春

[摘要]換元法在中學(xué)的應(yīng)用是非常廣泛的，巧妙、恰當(dāng)?shù)脑诮忸}中適用換元法，使解題變得簡(jiǎn)潔方便；在使用換元法也存一些問(wèn)題，要認(rèn)清問(wèn)題正確使用換元法。

[關(guān)鍵詞]換元法；換元法的應(yīng)用；換元法應(yīng)用中常見(jiàn)問(wèn)題

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，使用恰當(dāng)技巧方法把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)?；蛘甙涯吧男问阶?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證進(jìn)行簡(jiǎn)化。

換元法的實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，通過(guò)引進(jìn)新變量去代換原問(wèn)題變量的形式，讓問(wèn)題從形式、解題思路得到簡(jiǎn)化的一種解題方法。換元法的解題步驟為：設(shè)元、換元、求解、回代以及檢驗(yàn)。

1 換元法在解題中的應(yīng)用

1。1 換元法求值域（最值）問(wèn)題

在求最值問(wèn)題時(shí)，有的函數(shù)沒(méi)有顯著的特點(diǎn)，為了解決這些問(wèn)題美酒需要適當(dāng)利用換元法，找到題中的隱含條件，使得新元解題更加簡(jiǎn)捷方便。

題1 求函數(shù)y=x-3+5-x的取值范圍。

解 因?yàn)椋▁-3）+（5-x）=2，所以令x-3=2cos2α，5-x=2sin2α（α∈R）。

y=2cosα+2sinα，令α∈0，π2，則y=2cosα+2sinα。

y=2sinα+π4，因?yàn)閟inα+π4∈[-1，1]，所以y∈[-2，2]。

1。2 換元法解方程（方程組）問(wèn)題

解方程式是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種基本題型，是解答復(fù)合題型中關(guān)鍵一步。特別是在解高次方程時(shí)，需要利用換元法對(duì)原式進(jìn)行降次，變形成為熟悉的一次、二次方程，使解答變得簡(jiǎn)單。

題2 解方程x4+2x2+1x2+x2+1x=6。

解 （x2+1）2x2+x2+1x=6，令x2+1x=t。

原方程變形為：t2+t=6，（t+3）（t-2）=0，t1=-3，t2=2，所以x2+1x=-3或x2+1x=2。

解得x1=-3-52，x2=-3+52，x3=1。

1。3 換元法解決不等式問(wèn)題

中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不等式是一類基礎(chǔ)性的題型，不等式變化靈活在解題是要注意觀察，換元法的應(yīng)用，使得形式復(fù)雜的不等式得到簡(jiǎn)化，條件問(wèn)題的關(guān)系變得簡(jiǎn)單明了，不等式的解答或證明變得更加明朗化，問(wèn)題得到解決。

題3 已知（x-1）24+（y+1）29=1，而k

解 設(shè)x-12=sinα，y+13=cosα，所以x=2sinα+1，y=3cosα-1。即k<2sinα+3cosα恒成立。

2sinα+3cosα=13sin（α+β），其最小值是-13。

故得k<-13。

以上是利用換元法處理不同類型的問(wèn)題，問(wèn)題不是很難，往往是形式比較復(fù)雜，利用換元法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?，使得?wèn)題之間的關(guān)系變得更加清晰。雖然恰當(dāng)使用換元法能夠達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用，但是若是在轉(zhuǎn)化中不注重等價(jià)性，就會(huì)出現(xiàn)不易發(fā)覺(jué)的錯(cuò)誤。

2 換元法解題中常見(jiàn)的錯(cuò)誤

2。1 代換后忽視新變量的取值范圍

題4 已知x∈R+，求y=x+9x+1x+9x的最小值。

錯(cuò)解 令t=x+9x，∵x∈R+，∴t>0。

y=t+1t≥2t1t=2，當(dāng)且僅當(dāng)t=1t取得等號(hào)，即t2=1，∴t>0，t=1，即∵x∈R+，∴t>0x+9x=1，此方程無(wú)解?！鄖沒(méi)有最小值。

分析 在上面的解法中，因?yàn)楹雎粤舜鷵Q后新變量的取值范圍，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。在代換時(shí)一定要考慮到帶換的等價(jià)性。注意到t=x+9x，∵x∈R+，∴x+9x≥2x9x=6，即t≥6即可。

題5 已知x1-y2+y1-x2=1，求32x+12y的最值。

錯(cuò)解 因?yàn)閤≤1，y≤1，所以令x=cosα，y=sinα，α∈[0，2π）。

則cosαcosα+sinαsinα=1，兩邊平方得sin2α=0，∴α=kπ2（k∈z）。

從而32x+12y=32cosα+12sinα=sinα+π3=sinkπ2+π3（k∈Z）。

32x+12y的最大值32，最小值-32。

分析 代換時(shí)考慮不夠完全，只考慮到變量的范圍，卻沒(méi)考慮到代換的合理性。上面的代換實(shí)際上是不合理的，因?yàn)闊o(wú)形中增加了變量的限定條件x2+y2=1，這當(dāng)然很難得到正確的答案。其中令x=cosα，y=sinβ，α，β∈0，π2可求解。

3 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)前面的舉例說(shuō)明，可以看出換元法在解題中應(yīng)用可以使得解題變得簡(jiǎn)單方便，在學(xué)習(xí)以及教學(xué)中我們要注意培養(yǎng)學(xué)生恰當(dāng)使用換元法。在使用換元法帶來(lái)的便捷的同時(shí)，我們也要注意到，在對(duì)換元法概念理解不清，換元過(guò)程中常常會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)化的不等價(jià)性，使得做題出錯(cuò)。通過(guò)本文，希望對(duì)中學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)起到一定的作用。