轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查

王中華

轉(zhuǎn)化與化歸思想解決問題是高中數(shù)學(xué)解決問題的核心，數(shù)學(xué)問題的解決總離不開轉(zhuǎn)化與化歸，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡(jiǎn)單問題的轉(zhuǎn)化等等，要特別注意函數(shù)、方程、不等式的轉(zhuǎn)化. 熟練方法，看透本質(zhì)，潛移默化中培養(yǎng)自己的解題素養(yǎng).

數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

例1 已知：，，

求證：.

分析 本題主要考查數(shù)學(xué)代數(shù)式幾何意義的轉(zhuǎn)換能力，解決此題的關(guān)鍵在于由條件式的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到直線方程，進(jìn)而由兩點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)知其在單位圓上. 聯(lián)想到條件式的幾何意義，如何巧妙利用其幾何意義也是關(guān)鍵.

證明 在坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)是直線與單位圓的兩個(gè)交點(diǎn)，如圖.

=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2=2-2cos（α-β）.

又單位圓的圓心到直線的距離

向量運(yùn)算與不等式的轉(zhuǎn)化

例2 己知直線與圓交于不同的兩點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)， ，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是 .

分析 利用向量運(yùn)算把已知不等式化為，從而得到夾角，所以圓心到直線的距離（其中時(shí)），解得.

解 因?yàn)?，所以，所以?/p>

化簡(jiǎn)得，所以的夾角，所以圓心到直線的距離，其中時(shí)，，解得.

答案

遞推關(guān)系式的轉(zhuǎn)化

例3 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.

（1）當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列？

（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，證明.

分析 （1） 根據(jù)條件，將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為項(xiàng)與項(xiàng)的關(guān)系，由等比數(shù)列定義得到的值；（2）由（1）得到新數(shù)列通項(xiàng)，再通過錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和，證出不等關(guān)系成立. 考查數(shù)列與不等式的綜合、等比關(guān)系的確定、數(shù)列的求和等知識(shí).

解 （1）方法1：由題意得，

（2）由（1）知，，，

①，

②.

①②得，

正難則反的轉(zhuǎn)化

例4 已知，設(shè)命題：；命題：函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn). 求使命題“或”為真命題的實(shí)數(shù)的取值范圍.

分析 本題考查復(fù)合命題的真假應(yīng)用，利用正難則反的原則，將“，至少有一個(gè)為真命題”轉(zhuǎn)化為“求，同時(shí)為假命題時(shí)滿足的條件”是解決本題的關(guān)鍵.

解 對(duì)：，即.

對(duì)：由已知得，的判別式，

所以，要使“或”為真命題，只需求其反面，假且假，

實(shí)數(shù)的取值范圍是.

命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化

例5 已知橢圓的離心率為，直線分別經(jīng)過橢圓長(zhǎng)軸和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，且與圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）為圓上任意一點(diǎn)，以為切點(diǎn)作圓的切線與橢圓相交于點(diǎn)，求線段的取值范圍.

分析 （1）把由橢圓的離心率得到的的關(guān)系式與直線的方程聯(lián)立，即可解得的值，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）把圓的切線方程與橢圓方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，再利用弦長(zhǎng)公式找出弦的函數(shù)解析式，再用換元法把原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，最后用基本不等式求值域即可. 考查橢圓的基本量的計(jì)算、弦長(zhǎng)公式、換元法、利用基本不等式求函數(shù)的值域等知識(shí).

解 （1）橢圓的離心率為，

即①.

又因?yàn)橹本€分別經(jīng)過橢圓長(zhǎng)軸和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，所以即，

由已知條件與圓相切可得，

②，

兩式聯(lián)立得

故橢圓的方程為.

（2）設(shè)在上，即，

以為切點(diǎn)的圓的切線為：，

即.

切線與橢圓交于，兩點(diǎn)，

故直線方程與橢圓方程聯(lián)立

轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程為

設(shè)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，

所以.

等積轉(zhuǎn)化

例6 在三棱柱中，側(cè)面為矩形，，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，側(cè)面.

（1）證明：；

（2）若，求點(diǎn)到平面的距離.

分析 （1）利用，可求得，的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可證，可證平面，從而可證線線垂直；（2）由（1）知為三棱錐的高，底面為直角三角形，利用三棱錐的換底性求得三棱錐的體積，最后求出高即到平面的距離.

證明 （1），，

例7 已知函數(shù)（為參數(shù)）.

（1）寫出函數(shù)的定義域和值域；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)解析式中參數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，如果，求參數(shù)的取值范圍.

分析 （1）直接解不等式組即可；（2）借助于的范圍去求的范圍；（3）原式轉(zhuǎn)化為，利用換元法即可. 考查函數(shù)的性質(zhì)、定義域和值域、換元法等知識(shí).

解 （1）函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?

（2），

（3）

方程的根、圖象的交點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化

例8 已知定義在上的函數(shù)滿足：，，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（ ）

A. B.

C. D.

分析 將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，由圖象讀出即可. 考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.

答案 B

例9 函數(shù)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系是 .

分析 構(gòu)造函數(shù)，借助兩個(gè)函數(shù)與的圖象關(guān)系及方程的根、函數(shù)圖象的交點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，不需要計(jì)算即可得出結(jié)論.

解 令，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是什么？ 是

二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)：

我們將函數(shù)的圖象向下移動(dòng)1個(gè)單位得到了函數(shù)的圖象，因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，所以，函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)：

觀察圖象，可以輕松看出