活躍在高考中的高斯函數(shù)

王勇 芮華云

高斯函數(shù)是一個(gè)特殊且重要的函數(shù)，在數(shù)學(xué)競賽試題中屢見不鮮，在近幾年高考試題中也頻頻出現(xiàn)，涉及的問題頗具思考性和挑戰(zhàn)性，是考查同學(xué)們數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)靈氣的極好素材，值得高度重視. 本文介紹高斯函數(shù)的定義、常用性質(zhì)和典型問題，供參考.

定義

設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù). 顯然，任一實(shí)數(shù)都能寫成整數(shù)部分與非負(fù)純小數(shù)部分之和，即

典型問題

1. 研究新函數(shù)的性質(zhì)

例1 為實(shí)數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，則函數(shù)在上為（ ）

A. 奇函數(shù) B. 偶函數(shù)

C. 增函數(shù) D. 周期函數(shù)

解析 作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，觀察圖象，易知函數(shù)是周期函數(shù).

答案 D

點(diǎn)撥 函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，是非奇非偶、?為周期的非單調(diào)函數(shù)，在每個(gè)區(qū)間上都是單調(diào)增函數(shù). 請熟練掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對破解相關(guān)綜合性問題大有裨益.

例2 設(shè)表示不超過的最大整數(shù)（如對于給定的，定義，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是（ ）

點(diǎn)撥 本題是對常見組合數(shù)計(jì)算公式的延拓，又結(jié)合高斯函數(shù)，設(shè)計(jì)巧妙，構(gòu)思新穎. 由于未必是正整數(shù)，而根據(jù)定義在上的值有兩個(gè)，因此需要加以討論，再結(jié)合的定義研究的值域.

2. 探求函數(shù)的解析式

例3 某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表. 那么，各班可推選代表人數(shù)與該班人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)（表示不大于的最大整數(shù)）可以表示為（ ）

解法1 直接探求，設(shè)

結(jié)合各選項(xiàng)可知，本題應(yīng)選B.

解法2 特值驗(yàn)證并結(jié)合排除法，當(dāng)時(shí)，應(yīng)推選1名代表，而 故排除C，D項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，應(yīng)推選2名代表，而故排除A項(xiàng).

答案 B

點(diǎn)撥 本題以大家比較熟悉的推選代表問題為背景，考查構(gòu)建函數(shù)模型的能力，兩種解法都值得借鑒和品味.

3. 判斷恒成立問題

例4 設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)，有（ ）

A. B.

C. D.

解法1 由高斯函數(shù)的性質(zhì)7排除A項(xiàng)；由性質(zhì)6排除B項(xiàng)；由性質(zhì)5排除C項(xiàng).

答案 D

點(diǎn)撥 熟悉高斯函數(shù)的性質(zhì)，求解起來輕松自如，實(shí)為“秒殺”.

解法2 結(jié)合特殊值，利用排除法求解.

對于A項(xiàng)，取，

由以上分析可排除A，B，C項(xiàng).

答案 D

點(diǎn)撥 鑒于同學(xué)們并未系統(tǒng)學(xué)習(xí)高斯函數(shù)，命題者的初衷就是考查大家的信息遷移能力和選擇題的特殊解法（特值驗(yàn)證并結(jié)合排除法）.

4. 與數(shù)列交匯融合

例5 記為不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù).例如，. 設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足. 現(xiàn)有下列命題：

①當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前3項(xiàng)依次為5，3，2；

②對數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有；

③當(dāng)時(shí)，；

④對某個(gè)正整數(shù)，若，則.

其中的真命題有 .（寫出所有真命題的編號(hào)）

解析 對于①，當(dāng)時(shí)，，因此①正確.

對于②，注意到當(dāng)時(shí)，，…，此時(shí)數(shù)列除第一項(xiàng)外，從第二項(xiàng)起以后的項(xiàng)以2為周期重復(fù)出現(xiàn)，因此不存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)總有，故②不正確.

對于③，因?yàn)?，且，?

若是正奇數(shù)，則（用到高斯函數(shù)的性質(zhì)）.

若是正偶數(shù)，則.

綜上所述，成立，因此③正確.

對于④，因?yàn)?，注意到（用到了高斯函?shù)的性質(zhì)），所以，

又由③知，，于是有，因此有，故④正確.

綜上所述，真命題的編號(hào)為①③④.

點(diǎn)評 本題涉及到高斯函數(shù)的定義、性質(zhì)，考查直覺猜想、合理估算、反例構(gòu)造、演繹推理等內(nèi)容，用到了分類討論思想、均值不等式等知識(shí). 既綜合又復(fù)雜，無愧是一道壓軸填空題.

5. 與方程及不等式的巧妙結(jié)合

例6 設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得同時(shí)成立，則正整數(shù)的最大值是（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

故（*）式無解，即不符合題意.

綜上所述，所求正整數(shù)的最大值為4.

答案 B

點(diǎn)撥 本題考查同學(xué)們對新符號(hào)的領(lǐng)悟程度及不等式組的解法. 考查大家的閱讀理解能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力等.

通過本文可以看出，活躍在高考中的高斯函數(shù)，雖其外表簡單樸素，但其內(nèi)涵深邃，在解題中常需要結(jié)合分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方可順利求解.