聚焦圓錐曲線的熱點(diǎn)問(wèn)題

佘媛媛 張世林

本部分內(nèi)容主要以解答題形式考查，往往是試卷的壓軸題之一，一般以直線與圓錐曲線、圓與圓錐曲線為載體，考查弦長(zhǎng)、定點(diǎn)、定值、最值、范圍問(wèn)題或探索性問(wèn)題，試題難度較大，能力要求高，綜合性強(qiáng).

圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題

圓錐曲線的最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：①幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；②代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.

例1 如 圖，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，的長(zhǎng)軸是圓的直徑.是過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交圓于兩點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）求面積取最大值時(shí)直線的方程.

解析 （1）

（2）設(shè)，，，由題意知，直線的斜率存在，不妨設(shè)其為，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

故所求直線的方程為.

點(diǎn)撥 在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮：（1）利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；（3）利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.

圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問(wèn)題

定值、定點(diǎn)問(wèn)題必然是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變的量，處理時(shí)直接推理求出定值，也可先通過(guò)特定位置猜測(cè)結(jié)論后進(jìn)行一般性證明. 對(duì)于客觀題，通過(guò)特殊值法探求定點(diǎn)、定值能達(dá)到事半功倍的效果.

例2 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點(diǎn)P（2，3），Q（2，-3）在橢圓上，點(diǎn)A，B是橢圓上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APQ=∠BPQ，試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析 （1）

（2）當(dāng)時(shí)，的斜率之和為，設(shè)直線的斜率為，

則的斜率為，.

由整理得，

同理，的直線方程為，

可得.

∴直線的斜率為定值.

點(diǎn)撥 定值問(wèn)題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問(wèn)題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問(wèn)題，再證明要解決的問(wèn)題與參數(shù)無(wú)關(guān). 在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.

圓錐曲線中的探索性問(wèn)題

探索性問(wèn)題主要是存在性問(wèn)題，求解時(shí)一般先假設(shè)存在，然后進(jìn)行合理的推理論證，若得到的結(jié)論合符情理則假設(shè)成立，若得到矛盾的結(jié)論則假設(shè)不成立.

例3 如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上一定點(diǎn).

（1）求拋物線的方程及準(zhǔn)線的方程；

（2）過(guò)焦點(diǎn)的直線（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）與拋物線交于兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)M，記QA，QB，QM的斜率分別為，問(wèn)是否存在常數(shù)，使得成立. 若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

解析 （1）把代入，得，

所以拋物線方程為，準(zhǔn)線的方程：.

（2）由條件可設(shè)直線的方程為，.

由拋物線準(zhǔn)線：可知，.

又，所以①.

把直線的方程代入拋物線方程，并整理可得，

設(shè)，，由根與系數(shù)的關(guān)系知，

又，則.

因?yàn)楣簿€，

所以，即.

所以

②.

綜合①②可知，即存在常數(shù)，使得成立.

點(diǎn)撥 解析幾何中的探索性問(wèn)題，從類型上看，主要是存在類型的相關(guān)題型.解決問(wèn)題的一般策略是先假設(shè)結(jié)論成立，然后進(jìn)行演繹推理或?qū)С雒?，即可否定假設(shè)或推出合理結(jié)論，驗(yàn)證后肯定結(jié)論. 對(duì)于“存在”或“不存在”的問(wèn)題，直接用條件證明或采用反證法證明.解答時(shí)，不但需要熟練掌握?qǐng)A錐曲線的概念、性質(zhì)、方程及不等式、判別式等知識(shí)，還要具備較強(qiáng)的審題能力、邏輯思維能力以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.