高考三角解答題熱點例析

韓宏帥

近幾年高考中，三角函數(shù)和解三角形以解答題形式考查：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合、三角恒等變換與解三角形的綜合、解三角形與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合、平面向量與三角函數(shù)的綜合.

三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)

三角函數(shù)恒等變形的通性通法是：從函數(shù)名、角、運算三方面進行差異分析. 常用的技巧有：切割化弦、降冪、用三角公式轉(zhuǎn)化出特殊角、異角化同角、異名化同名、高次化低次等. 研究三角函數(shù)的值域、最值、周期、單調(diào)性等性質(zhì)，首先要將函數(shù)解析式化為標準形式，再結(jié)合圖象求解.

例1 已知函數(shù).

（1）求的最小正周期；

（2）求在區(qū)間[0，]上的最大值和最小值.

分析 （1）把函數(shù)變?yōu)椤耙唤且幻淮巍钡男问剑米钚≌芷诘挠嬎愎角蠼?；?）結(jié)合正弦函數(shù)的圖象求解.

解 （1）因為

，

所以函數(shù)的最小正周期.

（2）由（1）知， .

當時，，

由正弦函數(shù)在，上的圖象知，

當，即時， ；

當，即時，=0.

綜上所述，在上的最大值為，最小值為0.

點撥 解答此類題目的思路是“一化二求”，即通過恒等變換（降冪、輔助角公式應用）將其解析式化為或（是常數(shù)，且）的形式，再研究其各種性質(zhì)或求值.

三角變換與解三角形

要用正、余弦定理完成邊與角的互化，一般都化為邊或都化為角，然后用三角公式或代數(shù)方法求解，從而達到求值、證明或判斷的目的. 解題時要注意隱含條件.

例2 已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.

（1）求角的大??；

（2）若，且，求的面積.

分析 （1）利用正弦定理把已知等式轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，再應用余弦定理求角；（2）求出相應的邊角，利用三角形面積公式求解.

解 （1）由已知和正弦定理可得，

，

整理得，所以.

又，故.

（2）由

可得，，

所以或.

①當時，，則，

.

②當時，即

，則，

所以.

綜上所述，.

點撥 解答此類題目思路是“先變后解”，即利用三角恒等變換把已知條件化簡求值，再由正、余弦定理及面積公式求解.

平面向量與三角函數(shù)、解三角形

在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識解決平面向量問題，在解決此類問題的過程中，只需根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識解決問題.

例3 的內(nèi)角所對的邊分別為.向量與平行.

（1）求；

（2）若，，求的面積.

分析 （1）依據(jù)向量平行構(gòu)建三角函數(shù)等式就可求出；（2）可利用余弦定理求出，再求解三角形的面積；也可運用正弦定理求出角的三角函數(shù)值，進而求出角的正弦函數(shù)值，從而可求出三角形的面積.

解 （1）因為，所以.

由正弦定理得，.

又在中，，從而，

由于，所以.

（2）解法一：由余弦定理得，，

而，，，

所以，即.

因為，所以.

故的面積為.

解法二：由正弦定理得，，

從而.

又由知，，所以.

故

.

所以的面積為.

點撥 在三角函數(shù)問題中平面向量的知識主要是給出三角函數(shù)之間的一些關(guān)系，解題的關(guān)鍵還是三角函數(shù)問題.

利用正、余弦定理解決平面幾何問題

解決此類問題的模型如下.（1）審條件：梳理已知條件，把已知量轉(zhuǎn)移到幾何圖形中.（2）選定理：依據(jù)條件和結(jié)論，在不同的三角形中選擇正、余弦定理.（3）巧轉(zhuǎn)化：靈活且合理地進行邊角間的轉(zhuǎn)化.（4）定結(jié)論：把相關(guān)數(shù)據(jù)代入，得出結(jié)果.

例4 中，是上的點，平分，.

（1）求；

（2）若，求.

分析 第一步，把已知量轉(zhuǎn)移到平面幾何圖形中；第二步，在和中應用正弦定理；第三步，借助及求解；第四步，借助（1）的結(jié)論求出.

解 （1）由正弦定理得，.

平分，，

.

（2），

由（1）知，，

所以，即.