高考中必然與或然思想的考查

王浩 高保中

概率與統(tǒng)計(jì)研究的是隨機(jī)現(xiàn)象，其研究對(duì)象——隨機(jī)事件具有兩個(gè)最基本的特征，一是結(jié)果的隨機(jī)性，二是頻率的穩(wěn)定性. 研究的過(guò)程與方法是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規(guī)律去解決“偶然”的問(wèn)題，這其中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想就是必然與或然思想. 近幾年高考中，對(duì)必然與或然數(shù)學(xué)思想方法的考查在素材、難度、分值上等總體相對(duì)穩(wěn)定，難度定位在中等水平. 試題在源于教材的基礎(chǔ)上推陳出新，略加延伸又不盲目拔高. 該部分內(nèi)容作為考查同學(xué)們分析、解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題能力的重要載體，背景新穎，常給人耳目一新的感覺(jué)，充分體現(xiàn)了概率統(tǒng)計(jì)的工具性和交互性.

通過(guò)以上表格并結(jié)合前幾年的試題，我們不難發(fā)現(xiàn)：無(wú)論是文科卷還是理科卷，概率類試題的題量、題型、分值都比較穩(wěn)定，并且同一省份的文理卷中此類試題常以“姊妹題”的形式出現(xiàn)，即背景相同，題型類似，但考查深度以及側(cè)重有所不同. 理科在解答題部分將會(huì)重點(diǎn)考查古典概率模型、幾何概率模型、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)發(fā)生次的概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望（均值）與方差有關(guān)問(wèn)題、回歸分析等. 文科不再考查排列、組合、二項(xiàng)式定理，刪除了事件的相互獨(dú)立性、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，在解答題部分基本上都是以列舉計(jì)數(shù)的方法對(duì)概率進(jìn)行考查，難度相對(duì)小，比較好把握，故本文主要針對(duì)理科試題進(jìn)行比較研究.

探究必然與或然數(shù)學(xué)思想的考查

1. 對(duì)必然與或然基本數(shù)學(xué)思想的理解與靈活應(yīng)用

掌握數(shù)學(xué)的基本思想和方法是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最重要的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，也是高考命題者的一個(gè)立足點(diǎn).在概率統(tǒng)計(jì)模塊中，必然與或然數(shù)學(xué)思想包括：抽樣原理、估計(jì)思想（樣本估計(jì)總體）、相關(guān)思想、擬合思想、檢驗(yàn)思想、模擬思想等. 此類題難度一般不大，解題關(guān)鍵是對(duì)必然與或然基本思想的準(zhǔn)確把握.

例1 對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每一個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為，則（ ）

A. B.

C. D.

解析 隨機(jī)抽樣主要有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣這三種，根據(jù)隨機(jī)抽樣的概念，每一個(gè)個(gè)體被抽中的概率均為.

答案 D

點(diǎn)撥 破解此題不需要計(jì)算，關(guān)鍵是對(duì)隨機(jī)抽樣的有關(guān)概念實(shí)質(zhì)的理解，對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中最基本方法的熟練掌握和抽樣的基本特征——“等可能性”的準(zhǔn)確理解！

例2 根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)，得到的回歸方程為，則（ ）

答案 B

點(diǎn)撥 解決此題并不需要求出回歸直線方程，而只需根據(jù)散點(diǎn)圖擬合出回歸直線的大致圖象，并對(duì)回歸直線的斜率和截距作出判斷，重點(diǎn)考查了擬合思想. 近期高考對(duì)線性回歸問(wèn)題要求一般都不高，主要有：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖來(lái)判斷兩個(gè)變量之間具有怎樣的相關(guān)關(guān)系；正確理解計(jì)算，的含義；利用回歸方程公式作簡(jiǎn)單計(jì)算；利用回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心的特征處理問(wèn)題等.

2. 對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算和基本技能的考查仍是重點(diǎn)

統(tǒng)計(jì)不難發(fā)現(xiàn)，各地概率統(tǒng)計(jì)試題中對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算、基本技能的考查仍占較大比例，常見(jiàn)問(wèn)題有：頻率分布直方圖、古典概率、幾何概型的計(jì)算；均值與方差等數(shù)字特征的計(jì)算以及概率分布（如二項(xiàng)分布、正態(tài)分布）；線性回歸分析等有關(guān)問(wèn)題，其中線性回歸分析對(duì)運(yùn)算能力的要求較高.

例3 袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球. 從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為（ ）

A. 1 B.

C. D.

解析 從袋中任取2個(gè)球共有種，其中恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球共有種，所以從袋中任取的2個(gè)球恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為.

答案 B

點(diǎn)撥 本題意在考查基本知識(shí)與基本運(yùn)算，涉及到排列組合的知識(shí)、古典概率的計(jì)算以及轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用. 解答此題的關(guān)鍵在于理解所取2球恰好1個(gè)白球、1個(gè)紅球，即是分步在白球和紅球各取1個(gè)球的組合.

例4 已知2件次品和3件正品放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.

（1）求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；

（2）已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用（單位：元），求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.

解析 （1）記“第一次檢測(cè)出是次品且第二次檢測(cè)出是正品”為事件A.

（2）X的可能取值為200，300，400.

點(diǎn)撥 高考中常常通過(guò)實(shí)際背景考查互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，同時(shí)也考查二項(xiàng)分布、超幾何分布等特殊的概率模型. 解決此類問(wèn)題時(shí)要注意分清類型，運(yùn)用相應(yīng)的知識(shí)進(jìn)行解答，這些都是同學(xué)們需要掌握的基本解題技能.

3. 強(qiáng)化對(duì)數(shù)據(jù)的處理能力及圖表的閱讀理解能力的考查

概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題離不開(kāi)讀圖表、畫(huà)圖表和解釋圖表，根據(jù)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理分析，作出合理推斷，并能對(duì)推斷作出符合實(shí)際的評(píng)價(jià). 故“讀”“畫(huà)”“識(shí)”“斷”是本模塊考查的一大特色.

例5 某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從，兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：

（1）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可）；

（2）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：

[滿意度評(píng)分 低于70分 70分到89分 不低于90分 滿意度等級(jí) 不滿意 滿意 非常滿意 ]

記事件：“地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”. 假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求事件發(fā)生的概率.

解析 （1）兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖如下.

通過(guò)莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值；地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散.

（2）記表示事件：“地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意”；表示事件：“地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為非常滿意”；表示事件：“地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為不滿意”；表示事件：“地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為滿意”.

則與獨(dú)立，與獨(dú)立，與互斥，且.

.

由所給數(shù)據(jù)得，，，發(fā)生的概率分別為.

故.

.

評(píng)析 本題考查同學(xué)們對(duì)數(shù)據(jù)的處理能力，考查知識(shí)點(diǎn)包括莖葉圖、互斥事件和獨(dú)立事件等. 應(yīng)用莖葉圖將所給的較多數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，能夠更加清晰地看出數(shù)據(jù)間的關(guān)系，根據(jù)莖葉的密集程度比較平均值大小，如果密集主干部位在高位，那么平均值大；對(duì)于方差看它們數(shù)字偏離程度，偏離越大則方差大. 讀懂所求概率事件的含義，利用分類討論思想將事件分解為幾個(gè)互斥的情況來(lái)求解.

4. 充分發(fā)掘現(xiàn)實(shí)生活素材，考查分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力

由于概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題有廣泛的實(shí)際背景與應(yīng)用價(jià)值，故高考中考查大家的應(yīng)用意識(shí)與能力的應(yīng)用題大都以概率統(tǒng)計(jì)題為載體，題材涉及生產(chǎn)、生活科研中的方方面面，考查分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)對(duì)閱讀理解的能力有較高的要求. 主要考查隨機(jī)變量分布列、期望和方差的應(yīng)用、通過(guò)回歸分析進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)等.

例6 某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量（i=1，2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（3）以知這種產(chǎn)品的年利率z與x，y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：（i）年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？（ii）年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利率的預(yù)報(bào)值最大？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，…，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：

，

解析 （1）由散點(diǎn)圖可以判斷，適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型.

（2）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，由于，

，

所以關(guān)于的線性回歸方程為，因此關(guān)于的線性回歸方程.

（3）（i）由（2）知，當(dāng)時(shí)，年銷售量的預(yù)報(bào)值.

年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值

（ii）根據(jù)（2）的結(jié)果知，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值

所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，

故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.

評(píng)析 本題緊密結(jié)合生產(chǎn)實(shí)際，以某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，年銷售量和年利潤(rùn)的關(guān)系問(wèn)題為背景，考查線性回歸分析基本思想與方法及處理非線性擬合問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力，是源于課本的試題類型，此類聯(lián)系實(shí)際生活生產(chǎn)的題型一般對(duì)考生的閱讀能力有一定的要求，對(duì)運(yùn)算能力有較高要求，注意計(jì)算要細(xì)心，避免因計(jì)算失誤丟分. 解答非線性擬合問(wèn)題，先作出散點(diǎn)圖，再根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，利用換元法將非線性回歸方程化為線性回歸方程，求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸方程系數(shù)，即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測(cè).

5. 在思想方法交織線和能力層次的交叉區(qū)設(shè)計(jì)試題，綜合考查素質(zhì)與潛能

近幾年高考概率統(tǒng)計(jì)綜合題常在思想方法交織線和能力層次的交叉區(qū)設(shè)計(jì)，將概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題與函數(shù)、算法以及向量等其它數(shù)學(xué)知識(shí)交匯在一起，考查大家綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)和方法進(jìn)行信息遷移和知識(shí)整合的能力.

例7 在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，為事件“”的概率，則（ ）

A. B.

C. D.

解析 因?yàn)?，?duì)事件“”，如圖（1）陰影部分；

對(duì)事件“”，如圖（2）陰影部分；

對(duì)事件“”，如圖（3）陰影部分.

（1） （2） （3）

由圖知，陰影部分的面積從小到大依次是，根據(jù)幾何概型公式可得.

答案 B

評(píng)析 將簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃和幾何概型交匯在一起出題在高考中十分常見(jiàn)，有時(shí)候還會(huì)涉及到定積分求面積，考查面十分廣泛。求解幾何概型的問(wèn)題，一般先求出試驗(yàn)的基本事件構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積），再求出事件構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積），最后代入幾何概型的概率公式即可. 對(duì)幾何概型的概率公式中的“測(cè)度”要有正確的認(rèn)識(shí)，它只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)，在解題時(shí)，要掌握“測(cè)度”為長(zhǎng)度、面積、體積、角度等常見(jiàn)的幾何概型的求解方法.

從上面的歸納分析可以看出，考查必然與或然數(shù)學(xué)思想方法的命題總體較常規(guī). 這類試題題型新穎靈活，交匯性強(qiáng)， 雖然在常規(guī)題型中常發(fā)生一定的“變異”，但試題總的來(lái)說(shuō)難度不大，以考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法為主，注重考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力. 因此同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)要重視基礎(chǔ)，基于考點(diǎn)抓重點(diǎn)；在臨考前，更應(yīng)該通讀教材.