構造法在數(shù)學競賽中的應用

陳麗芳

構造法是一種富有創(chuàng)造性的解題方法，他很好地體現(xiàn)了數(shù)學中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、試驗、探索、歸納、概括、特殊化等重要的數(shù)學方法，對培養(yǎng)多元化思維和創(chuàng)新精神，豐富我們的想象力，提高我們分析問題和解決問題的能力大有裨益。

那么，如何去構造呢？構造法的內(nèi)涵相當豐富，他以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實問題的特殊性為基礎，針對具體問題的特點而采用相應的解決辦法。因此，在解題的過程中就要就學生思路開闊、觀察細微、思維靈活、勇于創(chuàng)新，變抽象為具體、陌生為熟悉，使問題得到巧妙解決。

一般來說用構造法解題有如下幾個步驟：①觀察、分析題目的條件和結論，有時要對條件和結論作適當變形。②聯(lián)想熟悉的與已知條件或結論有關聯(lián)的數(shù)學模式。③構造心得數(shù)學模式。④用構造出的數(shù)學模式溝通解題思路，解決原問題。

常用于構造法的數(shù)學模式有函數(shù)、方程、恒等式、圖形、配對式、不等式、中介媒體等，還有一些特殊的如反例、特例、等價命題等模式。其中尤以前四種應用最為廣泛。下面我們就這幾個方面選幾例來說明。

一、構造函數(shù)

通過構造適當?shù)暮瘮?shù)模型，運用函數(shù)的性質(zhì)來化解問題，可以解決許多不等式和代數(shù)式的求值問題。

例1：（第七屆美國奧賽試題）已知a、b、c、d、e是滿足a+b+c+d+e=8， a2+b2+c2+d2+e2=16的實數(shù)，試確定e的最大值.

分析：觀察條件a+b+c+d+e=8， a2+b2+c2+d2+e2可以聯(lián)想到：

（x-a）2+（x-b）2=2x2-2（a+b）+a2+b2，因此可以構造函數(shù)y=（x-a）2+（x-b）2+（x-c）2+（x-d）2.

二、構造方程

構造方程，考慮應用韋達定理或其他方法構造出系數(shù)含有該變量的一元二次方程，然后用判別式證明：

例2：（2007《數(shù)學周報》杯全國初中數(shù)學競賽試題）實數(shù)a、b、c滿足a≤b≤c，且ab+bc +ca=0，abc=1，求最大的實數(shù)k，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立。

分析：由已知條件可得聯(lián)想到一元二次方程。

解：構造一元二次方程，有已知可知c>0，，解得，∴（當 時取等號）所以最大實數(shù)k=4.

三、構造恒等式

需要我們在平時的積累，在看到題目時能聯(lián)想到熟悉的恒等式。

例3：（1990年全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）若方程（x-a）（x-8）-1=0有兩個整數(shù)根，求a的值。

分析：有已知可構造恒等式（x-x1）（x-x2）。

四、構造圖形

即數(shù)形結合的方法，當求證的結論或條件有較明顯的幾何意義時，應用構造圖形法，往往能夠快捷地解決問題，同時也需要有對式子的敏感。

例4：已知a、b、c>0，滿足關系式，a2+b2=c2，求證：an+bn

分析：條件a2+b2=c2的幾何意義為一個直角三角形的三邊，構造一個直角三角形.

五、構造配對式

例5：（西安交通大學少年班入學試題）求比大的最小整數(shù)。

分析：如直接計算，是非常困難的，一般對這類題目條件，都是運用配對法，即構造。

六、構造不等式

例6：（2006年《新知杯》上海市初中數(shù)學競賽試題）已知n（n>1）個整數(shù)（可以相同a1，a2，…，an滿足a1+a2+…+an=a1a2…an=2007。求n的最小值。

分析：條件中的a1，a2，…，an是無差別的，因此我們可以構造不等式a1+a2+a3≤a1+a1+a1，使a1，a2，a3 有差別。

由以上例題可知，若從構造的方法來分析，有分析題設或結論的本身特征、找與題設或結論有必然聯(lián)系的模式、聯(lián)想與題設或結論有相似的結構模式、挖掘題設或結論的幾何意義、將題設或結論與相關的命題進行類比構造等方法。這些方法從以上的例題中都能體現(xiàn)出來：①分析題設或結論的本身特征。有些題的題設或結論中隱含著問題的本質(zhì)特征，需要結合其特征去構造。②找與題設或結論有必然聯(lián)系的模式。對于有些關于自然數(shù)的不等式問題，與數(shù)列有著密切的聯(lián)系，這時可構造有關數(shù)列模式，利用其單調(diào)性解決。③聯(lián)想與題設或結論有相似的結構模式。這里用到比較多的有與韋達定理相似的結構、與判別式相似的結構。④將題設或結論與相關的命題進行類比構造。有些題目的條件中，我們會看到一些熟悉的味道，但卻不一樣的條件，這時要抓住這種熟悉來思考。

從上述可以看出，優(yōu)美、自然的構造法常常是建立在我們已有的知識基礎之上的，它生成于認知結構的最頂端，不僅能使學生強烈地感受到數(shù)學的美妙以及構造法的神奇，而且能夠使得學生激發(fā)起探索的意識和創(chuàng)新的欲望，如果能夠恰當?shù)剡\用構造法解題，可以突破思維的常規(guī)，使思路變得簡潔、明快、精巧、靈活，可謂好處多多，因此在平時的教學或競賽培訓中，加強構造性思維的訓練，對豐富學生的想象，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力，無疑是有十分重要的作用。

參考文獻：

[1]張貴余.構造法解競賽題[J].中學生數(shù)理化，2008.

[2]談躍年.靈活運用構造法解競賽題[J].數(shù)理化學習，2008.