2019年高考江蘇卷第12題的四種解法

蔣習(xí)文

2019年高考江蘇卷第12題 如圖1，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點O.若AB·AC=6AO·EC，則ABAC的值是

.

解法1 如圖2所示，過點D作DF∥BE交CE于點F，連結(jié)ED，AF，可得DF瘙 綊 12BE瘙 綊 EA，因而四邊形AEDF是平行四邊形，所以AO=12AD，再由題設(shè)可得：

AB·AC=6AO·EC=6·12AD·（AC-AE）

=3·12（AC+AB）·AC-13AB

=32AC2-12AB2+AB·AC.

所以AB=3AC，ABAC=ABAC=3.

解法2 如圖3所示，過D作DF∥CE交AB于點F，再由題設(shè)，可得AE=EF=FB，AO=OD，AO=12AD.

接下來，同解法1可求得答案.

解法3 如圖4所示，建立平面直角坐標系xDy，不妨設(shè)B（-3，0），C（3，0），A（6a，6b）（b≠0）.

由題設(shè)，可得AB=3AE，進而可求得點E的坐標是（4a-1，4b）.

還可求得直線DA：bx-ay=0，直線CE：bx+（1-a）y=3b，再求得它們的交點O的坐標是（3a，3b）.

再由題設(shè)AB·AC=6AO·EC，可得

（-3-6a，-6b）·（3-6a，-6b）=6（-3a，-3b）·（4-4a，-4b），整理得36a2+36b2+9=72a（由此可得a≠0）.

所以ABAC=（6a+3）2+（6b）2（6a-3）2+（6b）2=36a2+36b2+9+36a36a2+36b2+9-36a=72a+36a72a-36a=3.

解法4 設(shè)AO=λAD=λ2AB+λ2AC，再設(shè)EO=μEC=μ（AC-AE），可得AO=AE+EO=（1-μ）AE+μAC=1-μ3AB+μAC.

再由平面向量基本定理，可得λ2=1-μ3，

λ2=μ， 解得λ=12，

μ=14，因而AO=14（AB+AC），EC=AC-AE=AC-13AB，所以AB·AC=6AO·EC=6×14（AB+AC）·AC-13AB=32AC2-12AB2+AB·AC.

所以AB=3AC，ABAC=ABAC=3.

評注 本題雖說運算量較大，但算是一道基礎(chǔ)題，解法入口寬：解法1與解法2用到了平面幾何中的平行線分線段成比例定理，因而減少了運算量;解法3是建立平面直角坐標系，突出了平面向量的數(shù)形結(jié)合特點;解法4運用平面向量基本定理，求出了參數(shù)λ，μ的值，從而完成求解.