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    平實(shí)中見(jiàn)本質(zhì) 融合中顯精彩

    2019-12-06 07:39:57方治
    關(guān)鍵詞:文理夾角代數(shù)

    【摘 要】 向量兼顯“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)與“形”的直觀,是溝通代數(shù)與幾何的重要工具.縱觀2019年全國(guó)數(shù)學(xué)高考中的向量試題,平實(shí)中彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì),融合中呈現(xiàn)精彩方法.從考查的重點(diǎn)知識(shí)、解決的主要途徑、試題的總體分布以及與其它知識(shí)的交匯等方面對(duì)2019年高考向量問(wèn)題進(jìn)行評(píng)析,歸結(jié)出一些對(duì)高考向量復(fù)習(xí)的合理化建議.

    【關(guān)鍵詞】 2019年高考;向量;試題;評(píng)析

    1 高考對(duì)“向量”的考查要求

    在普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)中,對(duì)“向量”知識(shí)進(jìn)行了深度刻畫(huà),其內(nèi)容包括:“掌握向量的線性運(yùn)算,了解向量的基本定理并掌握其坐標(biāo)表示,會(huì)進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算,能用向量語(yǔ)言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問(wèn)題,發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力”\[1\].所以學(xué)生首先應(yīng)正確理解向量的概念和幾何意義,并能進(jìn)行向量的運(yùn)算操作;其次在形與數(shù)的轉(zhuǎn)化中靈活地解決問(wèn)題,體現(xiàn)向量解題的工具性作用.2019年全國(guó)高考向量試題遵循了“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),注重方法和素養(yǎng)考查”的原則.在知識(shí)層面,直接考查向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、垂直或平行、基底、?;驃A角等;在方法層面,重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合、化歸、分類(lèi)討論等思想方法;在素養(yǎng)層面,主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng).

    2 2019年高考向量試題的總體分布和解決途徑

    2019年全國(guó)及各省市高考試題(不包括解答題中立體幾何、三角函數(shù)、解析幾何涉及向量知識(shí)的題目)中,全國(guó)(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)文理卷、北京文理卷、天津文理卷、浙江卷、江蘇卷和上海卷都基本只有1個(gè)小題(選擇或填空),其中以考查向量的線性運(yùn)算、模、夾角、垂直與平行、基底、數(shù)量積這些知識(shí)的居多.全國(guó)(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)文理卷、北京文科卷和上海卷對(duì)向量?jī)?nèi)容的考查問(wèn)題處在試卷的低中檔位置上,北京理科卷、天津文理卷、浙江卷、江蘇卷對(duì)向量?jī)?nèi)容的考查問(wèn)題處在試卷的難題位置上,具體情況見(jiàn)表1.這些試題對(duì)考生的要求比較高,幾乎都是 “平樸中見(jiàn)精巧雅致,解法上顯多樣靈巧”,將向量“數(shù)與形”的雙重性表現(xiàn)地淋漓盡致\[2\].向量問(wèn)題雖然紛繁復(fù)雜,但是向量問(wèn)題的解決途徑一般有兩個(gè):一是幾何法,通過(guò)向量的幾何意義,以及向量的基本運(yùn)算將其轉(zhuǎn)化為平面幾何中的問(wèn)題,直接利用平面幾何中的相關(guān)知識(shí)就能得到解決;二是代數(shù)法,從向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、基底分解及坐標(biāo)運(yùn)用等方面思考,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的有關(guān)問(wèn)題來(lái)解決.

    3 2019年高考向量試題的評(píng)析

    向量在知識(shí)的呈現(xiàn)上,既具有加減、數(shù)乘和數(shù)量積運(yùn)算的代數(shù)形式,又兼?zhèn)浼訙p、數(shù)乘和數(shù)量積運(yùn)算的幾何意義,呈現(xiàn)形式的多樣性和解決方法的靈活性給高考提供了多渠道的命題視角.筆者以2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)文理和各省市文理13份真題卷為例,擷取若干典型問(wèn)題進(jìn)行評(píng)析.

    3.1 加強(qiáng)向量基本運(yùn)算的考查

    平面向量的線性與數(shù)量積運(yùn)算環(huán)境下平行、垂直、夾角和模的問(wèn)題是平面向量的基礎(chǔ)內(nèi)容,它們成為了高考考查的基點(diǎn).

    3.1.1 坐標(biāo)運(yùn)算

    例1 (2019年上海3)若a=(1,0,2),b=(2,1,0),則a與b的夾角為

    .

    例2 (2019年北京文9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,則m=

    .

    例3 (2019年全國(guó)Ⅲ文13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cos〈a,b〉=

    .

    例4 (2019年全國(guó)Ⅱ理3)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,則AB·BC=

    .

    A.-3B.-2C.2D. 3

    例5 (2019年全國(guó)Ⅱ文3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=().

    A.2B.2C.52D. 50

    3.1.2 代數(shù)運(yùn)算

    例6 (2019年全國(guó)Ⅰ理7文8)已知非零向量a,b滿(mǎn)足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為().

    A.π6B.π3C.2π3D. 5π6

    例7 (2019年全國(guó)Ⅲ理13)已知a,b為單位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,則cos〈a,c〉=

    .

    評(píng)析 2019年高考,低中等難度的向量問(wèn)題的考查基本上是基于線性和數(shù)量積運(yùn)算,從坐標(biāo)和代數(shù)運(yùn)算兩種方式,展開(kāi)對(duì)平行、垂直、夾角和模等問(wèn)題的考查.學(xué)生只要熟練掌握好向量的線性和數(shù)量積運(yùn)算的有關(guān)知識(shí),特別是熟練掌握平行、垂直、夾角、模與數(shù)量積的關(guān)系就可以迎刃而解. 向量基本運(yùn)算既是高考對(duì)向量考查的基點(diǎn),又是推理論證、運(yùn)算求解、聯(lián)系遷移的依據(jù).

    3.2 重視幾何推理與向量運(yùn)算相結(jié)合

    由于向量兼具幾何和代數(shù)的特性,2019年高考向量試題的解決,既要注重向量運(yùn)算(代數(shù)與坐標(biāo)運(yùn)算),同時(shí)也需要幾何推理相輔助,以達(dá)到幾何推理與向量運(yùn)算的融合使用.

    例8 (2019年江蘇12)如圖1,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)O.若AB·AC=6AO·EC,則ABAC的值是

    .

    解 法1 作AF∥BC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,故AFBC=AEEB=12,所以AF=12BC=CD,所以AO=OD,故AB·AC=6AO·EC=3AD·EC=3×12(AB+AC)×(AC-13AB).

    化簡(jiǎn)得3|AC|2=|AB|2,所以ABAC=3.

    法2 過(guò)D作DG∥AB,由于DG瘙 綊 12BE,BE=2EA,所以AE瘙 綊 DG,所以AO=OD,下同解法1.

    法3 作DH∥CE,則BH=HE=EA,所以AO=OD,下同解法1.

    法4 作EI∥BC,則IEBD=IECD=13,所以IOOD=13,而AIID=12,所以AO=OD,下同解法1.

    法5 由梅氏定理可知AEEB·BCCD·DOOA=1,而D是BC的中點(diǎn),BE=2EA,所以AO=OD,下同解法1.

    法6 AD=12(AB+AC),令A(yù)O=λAD,則AO=λ2(AB+AC)=3λ2AE+λ2AC,由于E,O,C三點(diǎn)共線,所以3λ2+λ2=1,故λ=12,所以所以AO=OD,下同解法1.

    法7 設(shè)AO=λAD=λ2(AB+AC),另一方面AO=μ(13AB)+(1-μ)AC,所以12λ=13μ,

    12λ=1-μ,

    解得λ=12,下同解法1.

    例9 (2019年天津理14文14)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=300,點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上,且AE=BE,則BD·AE=

    .

    法1 BD·AE=(BA+AD)·(AB+BE)=-|AB|2+BA·BE+AD·AB+AD·BE=-12+6+15-10=-1.

    法2 BD·AE=(BA+AD)·AE=BA·AE+AD·AE=23×2×cos1500+5×2×cos600=-1.

    法3 BD·AE=(BE+EA+AD)·AE=-2-4+5=-1.

    法4 如圖2,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(3,3),E(1,3),D(5,0),所以AE=(1,3),BD=(2,-3),BD·AE=2-3=-1.

    法5 作BF∥AE,設(shè)∠CBD=θ,BD=25+12-2×5×23×32=7,sinθ=37,cosθ=27.cos∠FBD=cos(θ+π3)=-714,BD·AE=7×2×(-714)=-1.

    法6 過(guò)B作BH⊥AD,則BD·AE=(25AD-HB)·(15AD+HB)=225×25-3=-1.

    法7 取AB的中點(diǎn)M,由于AE=BE,所以EM⊥AB,BD·AE=(AD-AB)·(AM+ME)=AD·AM+AD·ME-AB·AM-AB·ME =152-52-6=-1.

    法8 BD·AE=(BH+HD)·(AH+HB+BE)=6-3-4=-1.

    評(píng)析 以上兩個(gè)高考向量問(wèn)題都具有一定的綜合性、靈活性和解法的發(fā)散性.代數(shù)運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算相結(jié)合,幾何推理和向量運(yùn)算相結(jié)合,直接運(yùn)算和轉(zhuǎn)化運(yùn)算相結(jié)合,坐標(biāo)基底和非坐標(biāo)基底相結(jié)合,向量“身份”的多元性生發(fā)了解決方法的“融合”性.

    2.3 突出向量與其它知識(shí)的交匯

    數(shù)學(xué)的抽象性、系統(tǒng)性和嚴(yán)密性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在深刻的內(nèi)在聯(lián)系.平面向量作為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn),成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的橋梁,特別是與不等式、函數(shù)、幾何等知識(shí)都有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系.因此,向量與其它知識(shí)的交匯自然受到高考命題者青睞.

    例10 (2019年北京理7)設(shè)點(diǎn)A,B,C不共線,則“AB與AC的夾角為銳角”是“|AB+AC|>|BC|”的().

    A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

    C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

    法1 AB與AC的夾角為銳角AB·AC>0|AB+AC|2-|BC|2=(|AB|2+|AC|2+2|AB||AC|cosθ)-(|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cosθ)=4AB·AC>0|AB+AC|>|BC|.

    法2 AB與AC的夾角為銳角AB·AC>0且|AB|2+|AC|2-|BC|2>0|AB+AC|2-|BC|2=(|AB|2+|AC|2-|BC|2)+2AB·AC>0|AB+AC|>|BC|.

    法3 |AB+AC|>|BC||AB+AC|>|AC-AB|AB·AC>0AB與AC的夾角為銳角.

    例11 (2019年浙江17)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,當(dāng)每個(gè)λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1時(shí),|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最小值為

    ,最大值為

    .

    解法1 |λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|=|λ1AB+λ2AD-λ3AB-λ4AD+λ5(AB+AD)+λ6(AD-AB)|=|(λ1-λ3+λ5-λ6)AB+(λ2-λ4+λ5+λ6)AD|=[(λ1-λ3)+(λ5-λ6)]2+[(λ2-λ4)+(λ5+λ6)]2(*)

    由于每個(gè)λi(i=1,2,3,4,5,6)可獨(dú)立取遍±1,(*)式中λ1-λ3和λ2-λ4都可獨(dú)立取-2,0,2,而λ5-λ6和λ5+λ6取值范圍也為-2,0,2,不管λ5-λ6和λ5+λ6如何取值,只要λ1-λ3=λ6-λ5且λ2-λ4=-(λ5+λ6)時(shí),|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|取到最小值為0.

    另一方面

    [(λ1-λ3)+(λ5-λ6)]2+[(λ2-λ4)+(λ5+λ6)]2≤(2+|λ5-λ6|)2+(2+|λ5+λ6|)2=8+2(λ52+λ62)+4(|λ5-λ6|+|λ5+λ6|)=8+2(1+1)+4×2=25.

    所以|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最大值為25.

    法2 如圖4,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)則|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|=

    |λ1(1,0)+λ2(0,1)+λ3(-1,0)+λ4(0,-1)+λ5(1,1)+λ6(-1,1)|=

    |(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6)|

    =[(λ1-λ3)+(λ5-λ6)]2+[(λ2-λ4)+(λ5+λ6)]2.

    下同解法1.

    法3 令A(yù)B=e1,BC=e2,則AC=e1+e2,BD=e2-e1,記λ5AC+λ6BD=e3,那么|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|=|λ1e1+λ2e2-λ3e1-λ4e2+e3|=|(λ1-λ3)e1+(λ2-λ4)e2+e3|.

    由于λ1-λ3和λ2-λ4都可獨(dú)立取-2,0,2,e3=λ5AC+λ6BD=(λ5-λ6)e1+(λ5+λ6)e2=±2e1或±2e2.當(dāng)λ1-λ3=2,λ2-λ4=0,e3=-2e1時(shí),|(λ1-λ3)e1+(λ2-λ4)e2+e3|取到最小值為0;另一方面|(λ1-λ3)e1+(λ2-λ4)e2+e3|≤|2e1+2e2+2e1|=|4e1+2e2|=25,當(dāng)λ1-λ3=2,λ2-λ4=2,e3=2e1時(shí)可以取到最大值為25.

    評(píng)析 向量的知識(shí)交匯型試題是考查學(xué)生的知識(shí)統(tǒng)整能力、數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用能力和邏輯思維能力的題型,以上兩個(gè)高考向量問(wèn)題注重了向量與不等式、離散取值的多變量函數(shù)等知識(shí)的融合,凸顯了向量問(wèn)題中基底思想的應(yīng)用,應(yīng)予以關(guān)注. 在復(fù)習(xí)向量時(shí),可重點(diǎn)關(guān)注向量與幾何、函數(shù)、三角、不等式等知識(shí)的交匯.在解決的途徑上一般也可以從幾何和代數(shù)兩個(gè)方面來(lái)入手,將其轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題或從向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、基底分解及坐標(biāo)運(yùn)用等方面思考,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的有關(guān)問(wèn)題來(lái)解決.

    參考文獻(xiàn)

    [1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)\[S\].北京:人民教育出版社,2018.1.

    [2] 方孝釧.精美的高考向量試題中揮不去的幾何情結(jié)\[J\].中國(guó)數(shù)學(xué)教育,2011(10):24-26.

    作者簡(jiǎn)介 方治(1978—),男,浙江省義烏中學(xué)科研處主任,中學(xué)高級(jí)教師,主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育. 曾榮獲全國(guó)優(yōu)秀教練員、浙江省教壇新秀、浙江省師德楷模、浙派名師培養(yǎng)人選,個(gè)人執(zhí)筆的課題獲省一等獎(jiǎng)一次,省二等獎(jiǎng)一次,有多篇論文發(fā)表.

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