掀起“你”的蓋頭來(lái)

劉美良 林威

2019年浙江高考數(shù)學(xué)試卷依然保持了“起點(diǎn)低、坡度緩、層次多、區(qū)分好”的命題思路，秉承“簡(jiǎn)約，樸實(shí)、靈動(dòng)”的命題風(fēng)格，系統(tǒng)全面考查了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，多角度、多層次地考查了高中數(shù)學(xué)的基本技能、方法、思想，深度考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，反映了新課程的改革方向＼[1＼].各類題型載體簡(jiǎn)單、蘊(yùn)含豐富，給人以自然、流暢，質(zhì)樸、和諧的深刻印象.其中第21題拋物線問(wèn)題，涉及變量多，運(yùn)算量大，命題立意高、構(gòu)思巧，具有較為豐富的背景知識(shí)，凸顯了解析幾何核心思想，考查學(xué)生推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)本質(zhì)，彰顯了對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查要求，又讓人感受到了命題者的獨(dú)具匠心.本文擬從多個(gè)維度，從解析入手，歷經(jīng)發(fā)現(xiàn)與推廣，探究幾何背景，從幾何結(jié)構(gòu)中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的不變性.

1 考題解析

（2019浙江高考第21題）過(guò)焦點(diǎn)F（1，0）的直線與拋物線y2=2px交于A，B兩點(diǎn)，C在拋物線上，△ABC的重心P在x軸上，AC交x軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)）.

（1）求拋物線方程及準(zhǔn)線方程;

（2）記△AFP，△CQP的面積分別為S1，S2，求S1S2的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

評(píng)析 試題表述簡(jiǎn)潔、背景新穎、一題帶兩問(wèn)，有定量運(yùn)算，也有變化的控制.考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，又充分體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想在解題中的運(yùn)用.因涉及多個(gè)點(diǎn)，多條線，使得多元變量相互糾纏，“化不了，消不掉”成為考生的最大困惑！所以，在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法，有序推進(jìn)運(yùn)算是本題的一大亮點(diǎn).

解析 （1）y2=4x，準(zhǔn)線方程x=-1.

（2）方法1 設(shè)線

設(shè)AB的直線方程為y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）.

y=k（x-1），

y2=4x，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0.

所以x1+x2=2+4k2，x1x2=1，進(jìn)一步y(tǒng)1+y2=k（x1+x2-2）=4k，y1y2=-4，所以y1-4y1=4k，k=4y1y21-4.不妨設(shè)C（x3，y3），xP=13（x1+x2+x3）=13（2+4k2+x3）.

因?yàn)閥P=13（y1+y2+y3）=134k+y3=0，解得y3=-4k，則x3=14y23=4k2，所以xP=132+8k2，kAC=y1-y3x1-x3=4y1+y3，lAC：y-y3=4y1+y3（x-x3）.

令y=0，得xQ=x3-14（y23+y1y3）=-14y1y3>1.

S1=12FP·y1=12y1×138k2-1，

S2=12QP·y3=12y3·-14y1y3-83k2-23=2k·y1k-23-83k2，

S1S2=y18k2-1k43y1k-2-8k2=y1k8-k243y1k-2k2-8

=2y21y21-2y21-4y21+4=2-4（y21-8）y41-16=2-4（y21-8）+48y21-8+16≥2-4248+16=1+32.

當(dāng)且僅當(dāng)y21=11-2+34=42-3=4（2+3）時(shí)等號(hào)成立，解得：y1=2+6.

4k=y1-4y1=22，所以1k2=12，

即xP=132+8k2=2.

方法2 設(shè)線

（2）設(shè)A（y214，y1），B（y224，y2），C（y234，y3），由重心坐標(biāo)公式得y3=-y1-y2，所以C（y1+y2）24，-y1-y2，P（y1+y2）2-y1y26，0.

根據(jù)對(duì)稱性，下設(shè)y1>0，

直線AC方程：y-y1=4y1+y3（x-y214），

即y=4y1+y3x+y1y3y1+y3，

令y=0，則xQ=-y1y34=y21+y1y24.

設(shè)AB直線方程：x=my+1（m≠0，若m=0則y3=0不符合題意）.

由x=my+1，

y2=4x，y2-4my-4=0，

則y1+y2=4m，y1y2=-4，y1=2m+2m2+1.

下面重新改寫相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)：

P8m2+23，0，Qy214-1，0，y3=-4m，

由題知Q在P右側(cè)，則8m2+23>1m2>18.

S2=12|QP|·|y3|=12y214-1-8m2+23·4|m|=4|m|·mm2+1-m2+13

S1S2=（8m2-1）（m+m2+1）4|m|·|3mm2+1-（m2+1）|

=（8m2-1）（m+m2+1）4|m|m2+1·|3m-m2+1|

=（8m2-1）（4m2+1+4mm2+1）4|m|m2+1·（8m2-1）

4m2+14|m|m2+1+1=4m2+1433m2（m2+1）+1

≥4m2+1433m2+（m2+1）2+1=32+1.

當(dāng)且僅當(dāng)3m2=m2+1，即m2=12時(shí)取等號(hào)，此時(shí)P（2，0），S1S2的最小值為32+1.

評(píng)析 解析幾何常見(jiàn)方法是設(shè)點(diǎn)設(shè)線，很多同學(xué)總是舉棋不定，實(shí)則兩者本相通，重要的是理清變量之間的關(guān)系，具有過(guò)硬的運(yùn)算功底，不畏艱難的精神.不難看出，將多變?cè)D(zhuǎn)化為單個(gè)變量，不僅僅是一種解題意識(shí)，更是一過(guò)硬的能力！需要具備的扎實(shí)的運(yùn)算功底方能徹解.

方法3 設(shè)點(diǎn)

因?yàn)閥2=4x，設(shè)A（t2，2t），由焦點(diǎn)弦性質(zhì)得：xAxB=1，所以B1t2，-2t，C2t-2t2，2t-2t，

此時(shí)P2t2+2t2-23，0，|PF|=2t2+2t2-53.

利用A，Q，C三點(diǎn)共線，得2t-2t-2tt2-1t-t2=2t-0t2-xQ.

解得Qt2-1，0，所以|PQ|=t2-1-2t2+2t2-23

=t2-2t2-13.

S1S2=PFPQ·yAyC=2t2+2t2-5t2-1-2t2·2t21t-t

=2t4-5t2+2t2t4-t2-2t2-1.

令fx=2x2-5x+2xx2-x-2x-1

=x-22x-1xx-2x+1x-1=2-x-2x2-1.

=2-1x-2+3x-2+4≥2-123+4

=2-2-32=1+32.

當(dāng)且僅當(dāng)x-22=3，解得x=3+2，

即t2=3+2.

代入得：2t2+2t2-23=2，所以P2，0.

方法4 設(shè)點(diǎn)

設(shè)A（a2，2a），B（b2，2b），C（c2，2c），Q（t，0）.

由A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線：2a-2ba2-b2=2aa2-1ab=-1.

因?yàn)镻為△ABC的重心，

yP=2a+2b+2c3=0a+b+c=0.

由A，Q，C三點(diǎn)共線：

2a-2ca2-c2=2aa2-tt=-ac，所以Q-ac，0.

xP=a2+b2+c23<-aca2>2b2-aba2>21a2+1a2>2.

因?yàn)镾△ABP=S△APC，且S△AFPS△ABP=AFAB，S△CPQS△ACP=CQCA.所以S1S2=AFAB·CACQ=2a2a-2b·2a-2c2c=a2-acac-bc=a2+aa+ba+ba-b=2a2-1a2-1a2.所以S1S2=2a4-a2a4-1=2-a2-2a4-1.

令a2-2=m>0，則有S1S2=fm=2-mm2+4m+3=2-1m+3m+4≥2-123+4=1+32，當(dāng)且僅當(dāng)m=3時(shí)取等號(hào).

故S1S2的最小值為1+32，此時(shí)a2=2+3，b2=2-3，c2=2，點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，0）.

方法5 設(shè)點(diǎn)

設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3，易得：y1y2=-4，y1y3=-4xQ，y1+y2+y3=0.

所以xQ=y1-4-y1+4y1>1，所以y21>8.

則S△AFPS△ABP=AFAB=y1y1-y2，S△CQPS△ACP=CQCA=-y3y1-y3.所以S△AFPS△CQP=y3-y1y1y1-y2y3=2+4y21-816-y41.

令t=y21-8，所以S1S2=2-4t+48t+16≥2-4248+16=1+32.

故當(dāng)t=43時(shí)，S1S2取到最小值為1+32.

評(píng)析 設(shè)點(diǎn)的方式不同，但本質(zhì)是相同的.通過(guò)三點(diǎn)共線，得到共線點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系，并將三角形的面積比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，再依據(jù)拋物線y2=2pxp>0中過(guò)定點(diǎn)a，0的弦AB，則有xAxB=a2，yAyB=-2pa性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換.

方法6 設(shè)向量

設(shè)AF=λAB，AQ=μAC，因?yàn)锳P=13AB+13AC=13λAF+13μAQ.

因?yàn)镕，P，Q三點(diǎn)共線，所以13λ+13μ=1，所以1λ+1μ=3.因?yàn)棣?，μ?，1，所以μ=λ3λ-1∈0，1，所以12<λ<1，所以S1S2=S△AFPS△CPQ=λS△APB1-μS△APC=λ1-μ=λ1-λ3λ-1=λ3λ-12λ-1.

令t=2λ-1∈0，1.所以S1S2=λ3λ-12λ-1=143t+1t+1≥1+32.

當(dāng)且僅當(dāng)λ=12+36時(shí)取到等號(hào).

2 引申推廣

方法6是從向量共線的性質(zhì)，將S1S2表示為λ的函數(shù)關(guān)系，從中可以發(fā)現(xiàn)，拋物線方程及其焦點(diǎn)這一條件，只是一種“背影”，沒(méi)有“背景”！

為此，可以將問(wèn)題作第一次推廣：

推廣1 過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線y2=2px交于A，B兩點(diǎn)，C在拋物線上，△ABC的重心P在x軸上，AC交x軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)），記△AFP，△CQP的面積分別為S1，S2，求S1S2的最小值.（答案：1+32）

推廣2 已知點(diǎn)A，B，C是拋物線y2=2px（p>0）相異的三點(diǎn)，△ABC的重心P在x軸上，AB，AC分別交x軸于點(diǎn)F，Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)），記△AFP，△CQP的面積分別為S1，S2，求S1S2的最小值.（答案：1+32）

上述問(wèn)題的解決思路如出一轍，即S1S2的值和點(diǎn)A，B，C所依托的曲線沒(méi)有關(guān)系，其本質(zhì)是曲線的內(nèi)接三角形的幾何結(jié)構(gòu)決定數(shù)量關(guān)系的不變性.

為此，提出如下兩個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1 如圖3，P是△ABC的重心，F(xiàn)，Q分別在邊AB，AC上，且F，P，Q三點(diǎn)共線，記△AFP，△CQP的面積分別為S1，S2，求S1S2的最小值.（答案：1+32）

圖4問(wèn)題2 如圖4，在△ABC中，M是BC邊上的任一點(diǎn)，P是AM上的任一點(diǎn)，過(guò)P任作一條直線交邊AB，AC于F，Q，若AF=λAB，AQ=μAC，AP=zAM，BM=tMC.則①1λ+tμ=t+1z;②S△AFPSCPQ=λt1-μ.

推論1 當(dāng)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)時(shí)，即當(dāng)t=1時(shí)，則有1λ+1μ=2z.

推論2 當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的重心時(shí)，即當(dāng)t=1，z=23時(shí)，則有1λ+1μ=3，S△AFPSCPQ=λ1-μ.

因此，2019年的高考試題正是推論2的具體呈現(xiàn)，撩開(kāi)了這道試題的神秘面紗，有一種掀起蓋頭的欣喜！因此，可從A，B，C所依托的曲線設(shè)置不同的問(wèn)題，但“貌離神合”，“形散而神不散”！這正是今年高考試題隱去的幾何背景.

為此，可以將問(wèn)題作第二次推廣：

推廣3 已知點(diǎn)A，B，C是拋物線y2=2px（p>0）上相異的三點(diǎn)，△ABC的重心P在x軸上，AB，AC分別交x軸于點(diǎn)F，Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)），記△AFP，△CQP的面積分別為S1，S2，求S1S2的最小值.（答案：1+32）

推廣4 已知點(diǎn)A，B，C是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上相異的三點(diǎn)，△ABC的重心P在x軸上，AB，AC分別交x軸于點(diǎn)F，Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)），記△AFP，△CQP的面積分別為S1，S2，求S1S2的最小值.（答案：1+32）

推廣5 已知點(diǎn)A，B，C是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>b>0）上相異的三點(diǎn)，△ABC的重心P在x軸上，AB，AC分別交x軸于點(diǎn)F，Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)），記△AFP，△CQP的面積分別為S1，S2，求S1S2的最小值.（答案：1+32）

3 嘗試編題

根據(jù)幾何結(jié)構(gòu)的不變性，可以編制如下問(wèn)題：

問(wèn)題3 過(guò)拋物線C：y=x2上的一點(diǎn)A（1，1）作拋物線的切線，分別交x軸于D，交y軸于B.點(diǎn)Q在拋物線上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AQ，BQ上，且滿足AE=λEQ，BF=μFQ，線段QD與EF交于點(diǎn)P.

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上，且λ=μ=12，求直線EF的方程;（Ⅱ）當(dāng)λ+μ=1，求S△PAB∶S△QAB的值.

答案：（Ⅰ）y=2x-4+36或y=2x-4-36

（Ⅱ）1∶3.

參考文獻(xiàn)

[1] 沈新權(quán)，江戰(zhàn)明 .2019浙江高考命題思路及試題評(píng)析[N].教育之江，2019-06-10.