“本是同根生”說說這一特殊的函數(shù)

錢佳玲

【摘 要】本文揭示了數(shù)列是一類特殊的函數(shù)這一本質(zhì)，列舉了在某些數(shù)列問題上，可以利用函數(shù)的知識(shí)來解決，提高解題速度。另一方面，由于數(shù)列的特殊性，與函數(shù)問題又有區(qū)別，在利用函數(shù)思想解決數(shù)列問題的時(shí)候，不能一概而論，要認(rèn)清其中差異，才能提高正確率，從而提升思維能力。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；數(shù)列

一、會(huì)用函數(shù)知識(shí)解決數(shù)列的問題

既然數(shù)列可以看出特殊的函數(shù)，那么能否用函數(shù)的知識(shí)來解決數(shù)列的一些問題呢？

例1：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=n2-4n+6，求Sn的最小值。

分析：由于數(shù)列可以看成特殊的函數(shù)，那么Sn就可以看成是關(guān)于n的二次函數(shù)，由對(duì)稱軸n=2，可以快速得出這個(gè)數(shù)列Snmin=2。

例2：等差數(shù)列{an}中，已知a1=25，S9=S17，則此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？

分析：由于公差不為0的等差數(shù)列的Sn=An2+Bn，由題可知這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為n=13，所以前13項(xiàng)和最大。

反思：上面兩個(gè)題目利用函數(shù)的知識(shí)都可以快速的解決，簡單方便，但是這邊涉及到的對(duì)稱軸恰好是整數(shù)，若不是整數(shù)，就需要我們抓住數(shù)列的特殊性，避免發(fā)生錯(cuò)誤。

例3：在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1-an（n∈N*），則a2014=

解：法一

通過遞推關(guān)系式，可以一一列舉出等，由此發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)以6為周期的一個(gè)循環(huán)過程。所以只需看2014中有幾個(gè)這樣的周期就可以了。

法二

由題意，其實(shí)告訴了我們f（n+2）=f（n+1）-f（n）的抽象函數(shù)關(guān)系式，且n∈N*，

∵f（n+2）=f（n+1）-f（n） （1）

令n=n+1

∴f（n+3）=f（n+2）-f（n+1） （2）

（1）+（2），得f（n+3）=-f（n）

令n=n+3，得f（n+6）=f（n）

從上式可以看出此抽象函數(shù)以6為周期且每隔兩項(xiàng)的值是相反的，還可以得出每個(gè)周期的和為0，同樣可以得到

法二很巧妙的利用了抽象函數(shù)的知識(shí)解決了數(shù)列的問題，使得此數(shù)列的特征更加明顯，解題也更加規(guī)范。

二、抓住特殊性，精準(zhǔn)做題

在利用函數(shù)知識(shí)解決數(shù)列問題的時(shí)候，往往會(huì)忽略數(shù)列的特殊性而導(dǎo)致錯(cuò)誤。這時(shí)候一定要認(rèn)準(zhǔn)數(shù)列的特殊性，抓住其本質(zhì)，才能做到精準(zhǔn)做題。

例1：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=n2-5n+6，求Sn的最小值。

分析：Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，但是這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為n=2.5，由于數(shù)列的特殊性，n只可取正整數(shù)，當(dāng)n=2或3時(shí)，Sn都能取到最小值0。

例2：已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且an=n2+λn，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍

解：法一

法二

∵an=n2+λn是關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖像的單調(diào)性

∴只需對(duì)稱軸滿足：

即λ>-3

反思：解法一根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義，轉(zhuǎn)化成恒成立的問題。解法二利用函數(shù)的知識(shí)，但是在實(shí)際批閱過程當(dāng)中，學(xué)生出現(xiàn)了錯(cuò)誤答案，究其原因，是只考慮了而得來的錯(cuò)誤答案，其根本原因還是在于沒有抓住數(shù)列的特殊性，與連續(xù)函數(shù)圖像的區(qū)別。

例3：設(shè)，且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 錯(cuò)解：把此數(shù)列完全等同于分段函數(shù)，只保證了分段函數(shù)在每一段的單調(diào)性和在分段點(diǎn)處的遞增性：∵{an}是遞增數(shù)列

由于沒有考慮到數(shù)列是個(gè)特殊的函數(shù)，自變量n∈N*，對(duì)應(yīng)的圖像為一個(gè)個(gè)孤立的點(diǎn)，所以在分段點(diǎn)處不需要考慮絕對(duì)的遞增性，只需保證a7

∵{an}是遞增數(shù)列

錯(cuò)解的解法是學(xué)生在實(shí)際解題過程當(dāng)中常犯的錯(cuò)誤，只有認(rèn)識(shí)到數(shù)列的圖像是一個(gè)個(gè)孤立的點(diǎn)，理解數(shù)列單調(diào)性的本質(zhì)才能做到信手拈來。

“本是同根生”，抓住函數(shù)這一條根，尋找數(shù)列的不同點(diǎn)，在用函數(shù)思想解決數(shù)列問題的同時(shí)，又能關(guān)注到數(shù)列這一條“藤”，注意數(shù)列的特殊性，必定可以對(duì)數(shù)列有一個(gè)更深刻的了解。