導數(shù)在高中數(shù)學解題中的合理應用

任小英

[摘 要] 導數(shù)在高中數(shù)學解題過程中的運用，最基本的作用是將解題過程變得簡單高效，將復雜的高中數(shù)學問題簡單化，為學生下一階段的數(shù)學學習做一個鋪墊.教師在在導數(shù)的教學過程中，將理論知識形象化，結(jié)合一定的圖片表格，讓學生能更直觀的感受到導數(shù)的各性質(zhì)之間的區(qū)別，同時也要注意引導學生將數(shù)學知識生活化，這樣也能更好地提高學生導數(shù)學習的效率.

[關(guān)鍵詞] 導數(shù) 高中數(shù)學 合理應用

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674 6058（2016）17 0000

導數(shù)是高考出題的熱點，這讓教師和學生對導數(shù)學習的意識也逐漸加強.導數(shù)在數(shù)學教學中的引入，加深了學生對函數(shù)的理解，激發(fā)了學生的創(chuàng)新思維，同時引導學生將導數(shù)解題的方式運用到實際生活中去，并且對激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性有一定的作用.所以導數(shù)是數(shù)學教學中有利的輔助工具.注重引導學生用導數(shù)進行解題，并且能熟練掌握已成為數(shù)學教學的教學目標之一.

一、導數(shù)在代數(shù)中的應用

導數(shù)不是很復雜難學的知識，只要將公式、法則、性質(zhì)牢記于心，多做練習，自然就能熟練應用.運用導數(shù)求極值一般有固定的解題步驟：首先求出f′（x）的根值，根據(jù)所得數(shù)值，確定根兩側(cè)的函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性呈現(xiàn)出來的遞增或遞減狀態(tài)，得到相應的最大值或最小值.如果兩側(cè)單調(diào)性相同，則說明此根處沒有相應的極值.

例如，用導數(shù)求函數(shù)f（x）=-x3+3x2+9x在單調(diào)區(qū)間[1，5]上的最大值.

解： 函數(shù)f（x）的導數(shù)為f′（x）=-3x2+6x+9，所以在區(qū)間（-1，3）上是單調(diào)遞增的，即f′（x）>0.在區(qū)間（-∞，-1），（3，+∞）上是單調(diào)遞減的；對于區(qū)間[1，5]在[1，3]的范圍內(nèi)f′（x）>0，即是遞增，在[3，5]范圍內(nèi)f′（x）<0即為遞減，所以根據(jù)極值的定義可得出，在x=3處取得最大值，即f（3）=63.

這類題目在高中是常見的基礎題型，在某一區(qū)間內(nèi)求取極值的問題，根據(jù)導數(shù)的定義，在區(qū)間內(nèi)如果兩側(cè)符號不同，那就說明這個區(qū)間存在極值，以此為根據(jù)，有清晰的解題思路，就能快速地解出答案.

二、導數(shù)在幾何中的應用

導數(shù)在幾何題目的解答上都能使解題變得更高效簡單.學生在導數(shù)知識章節(jié)的學習中，對于導數(shù)的公式和兩個函數(shù)之間的四種求導法則，可以不用加以過多的證明，但一定要將公式和法則熟記于心，在遇到難題時，能夠正確使用相應的步驟和法則.學生在導數(shù)知識的學習過程中，也要注意適時的進行總結(jié)，對知識有一個連貫性.注重知識的全面運用，可以提升學生自身的綜合學習能力.

導數(shù)在幾何解題的應用也可以有效地提高解題效率.比如常見的給出某M點坐標和曲線c方程，求出最終的切線方程.解題基本上也是有固定的步驟：首先確定M點是否在相應的曲線c上，另外要求得相應的導數(shù)f′（x）；根據(jù)題目的實際情況會得出不一樣的數(shù)值，然后結(jié)合導數(shù)知識根據(jù)具體的情況運用相應的方程公式.如果點在曲線上，那么需要用的方程為y-y0=f′（x0）（x-x0）；如果點不在曲線上，那么需要用到的方程為y1=f（x1），y0-y1=f′（x1）（x0-x1），以此為根據(jù)，得出具體的x1的值，這樣就能求得切線方程.

在幾何題目的解答中，合理的應用導數(shù)可以使計算方法變得更加簡單，通過這種方式可以提高數(shù)學題目解答的效率.在高中數(shù)學中我們經(jīng)常會遇到坐標系中切線方程求解.一般的題目都是給出曲線外的一個坐標點，讓學生來求解過這個點的曲線的切線方程，這些題目的解答都是通過導數(shù)來實現(xiàn)的.

例如：已知一條直線p：x+4y-4=0，以及曲線y=x4，直線p與曲線的一條切線n相互垂直，求切線n的方程.這是一道典型的采用導數(shù)來進行解答的曲線切線題目.在解題的過程中，我們要對題目所給的信息進行分析，根據(jù)直線x+4y-4=0與切線n相互垂直這一信息，來計算出n這條直線的斜率，然后再求出曲線的導函數(shù).當導函數(shù)取具體值的時候，我們就可以將其對應的點坐標求出，這樣就可以根據(jù)斜率和點的坐標來得出直線的方程.具體解題步驟為：y=x4，求導結(jié)果為y′=4x3，直線x+4y-4=0的斜率為-1/4，那么與這條直線垂直的直線n的斜率就是4.我們令y=4x3=4，就可以得出x=1，由此可知，這條直線與曲線的交點，也就是切點的位置就是（1，1），那么對應的切線方程就為y-1=4（x-1），即為y=4x-3.

學生要想在數(shù)學解題中很好地應用導數(shù)，必須是建立再對導數(shù)的概念、性質(zhì)以及法則等有深刻理解的基礎上的.通過導數(shù)典型性的應用，可以使一些題目變得一題多解，幫助學生對各個知識點有更加深層的掌握，并在此基礎上選擇較為簡單的方法，更好的解決問題.

總之，導數(shù)在高數(shù)解題中的運用，有效地幫助學生更快速地解答難題；在有些包含導數(shù)、方程組、數(shù)列等方面的綜合題目，通過使用導數(shù)進行解題，可以考察學生的綜合思考能力，提高高中數(shù)學教學有效性.

[ 參 考 文 獻 ]

[1]吳龍福.例析導數(shù)在高中數(shù)學題目解答中的典型性應用[J].數(shù)學大世界：教師適用，2012，（11）：62-62.

[2]郝利軍.關(guān)于高中數(shù)學導數(shù)公式的應用研究[J].文理導航（中旬），2014，（8）：19-19.

建議先理論分析，再列舉一個具體的例子.

（特約編輯 章 強）