例談高考含參不等式恒成立問題的求解策略

王德友

[摘 要] 含參不等式的恒成立問題是學(xué)生難以理解和掌握的一個難點(diǎn)，是高考常見的題型.教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握求不等式恒成立中參數(shù)范圍的常見策略與方法，根據(jù)不同的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ_定不等式恒成立中的參數(shù)范圍，提高學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞] 高考 含參不等式 恒成立

[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1674 6058（2016）17 0058

導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用問題是每年高考的必考內(nèi)容，多以解答題的形式出現(xiàn)，難度較大，屬中、高檔題，含參不等式的恒成立問題就是其中一種考查方式.含參不等式的恒成立問題因其覆蓋的知識點(diǎn)多，方法也多種多樣，考生普遍存在的問題是：入手易、深入難；會而不對、會而不全.但我們認(rèn)真研究一下這類問題，還是“有法可依”的.本文結(jié)合例子給出解決此類問題的幾種策略.

【題目】 （貴州2015適應(yīng)性試題）設(shè)函數(shù)f（x）=ax- sinx，x∈[0，π].

（Ⅰ）當(dāng)a= 1 2 時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若不等式f（x）≤1-cosx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案： （Ⅰ）增區(qū)間[0， π 4 ]，減區(qū)間[ π 4 ，π].

（Ⅱ）有如下幾種策略解決.

策略一：部分分離變量利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，對不等式經(jīng)過移項(xiàng)等變形，可將不等式化為兩邊是熟悉的函數(shù)的形式，特別是可化為一邊為一次函數(shù)，另一邊是超越函數(shù)的不等式問題.對于這類問題，我們常常用數(shù)形結(jié)合法，先構(gòu)造函數(shù)，再作出其對應(yīng)的函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像找出其滿足的條件，通過解不等式，求出參數(shù)的范圍.

解： 原不等式等價于ax-1≤sinx-cosx恒成立.設(shè)g（x）= 2 sin（x- π 4 ），h（x）=ax-1，原不等式等價于g（x）≥h（x）在x∈[0，π]上恒成立.作出g（x）的簡圖，如圖所示，端點(diǎn)A（π，1），B（0，-1），求導(dǎo)得g′（x）= 2 cos（x- π 4 ），則g′（0）=1.函數(shù)g（x）在點(diǎn)B（0，-1）處的切線方程為y=x-1.該切線在圖中與g（x）還有另一個交點(diǎn)，而直線AB的方程為y= 2 π x-1，要使原不等式恒成立，只需a≤ 2 π ，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞， 2 π ].

點(diǎn)評： 如果一些不等式兩邊的式子函數(shù)模型較明顯、較容易畫出函數(shù)圖像，可以考慮畫出函數(shù)圖像，用函數(shù)圖像的直觀性解決不等式或方程的恒成立問題.這樣可得到意想不到的效果.

策略二：徹底分離參數(shù)，將不等式問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題.比如，含參數(shù)m的不等式恒成立問題可變?yōu)閒（m）≤g（x）或f（m）≥g（x）在給定區(qū)間D上恒成立問題，最終可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間D上的最大值或最小值問題，即f（m）≤g（x）min或f（m）≥g（x）max，然后再解相應(yīng)的不等式即可.

解： 原不等式等價于ax≤sinx-cosx+1.

當(dāng)x=0時，a·0≤0恒成立，a∈ R ；

②當(dāng)x∈（0，π]時，原不等式等價于a≤

sinx-cosx+1 x

.構(gòu)造函數(shù)g（x）=

sinx-cosx+1 x

，求導(dǎo)得g′（x）=

x（cosx+sinx）-sinx+cosx-1 x2

.構(gòu)造函數(shù)h（x）=

x（cosx+sinx）-sinx+cosx-1

，求導(dǎo)得h′（x）=x（cosx-sinx）

.則當(dāng)x∈（0， π 4 ）

時，h′（x）>0；當(dāng)x∈（ π 4 ，π]時，h′（x）<0.故函數(shù)h（x）在（0， π 4 ）上單調(diào)遞增；在（ π 4 ，π]上單調(diào)遞減.所以h（ π 4 ）>h（0）=0，h（π）=-π-2<0.從而x0∈（ π 4 ，π）

，使h（x0）=0.

當(dāng)x∈（0，x0）時，h（x）>0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（x0，π）時，h（x）<0，g（x）單調(diào)遞減.故g（x）的最小值在端點(diǎn)處取得.因g（π）= 2 π

，

lim x→0

sinx-cosx+1 x =

lim x→0

（cosx+sinx）=1

（洛必達(dá)法則），所以a≤ 2 π .

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞， 2 π ].

點(diǎn)評： 該策略把不等式中的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，適用于參數(shù)與變量能分離，函數(shù)的最值易求出的問題.

策略三：不分離參數(shù)，利用比較法構(gòu)造函數(shù)，例如在某個范圍內(nèi)，含參不等式或恒成立，利用作差法可以構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而只需求或即可，（在條件允許下也可利用作商法構(gòu)造函數(shù)）使問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值問題求解.

解： 原不等式等價于，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得.易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，.

當(dāng)時，①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，恒成立；②當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，，不恒成立；

③當(dāng)時，，，，使，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則有，不恒成立；④當(dāng)時，，，易知，使，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，要使在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍.

點(diǎn)評： 雖然是構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求最值問題，但是構(gòu)造的函數(shù)中還含有參數(shù)，求最值時就需對參數(shù)進(jìn)行分類討論.

利用導(dǎo)數(shù)解決含參不等式的恒成立問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可 分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）