高考數(shù)學中的恒成立問題的應用與探究

楊金全

摘要：高三數(shù)學中恒成立的學習一定要打牢基礎，充分掌握好高三數(shù)學課中有關分支的知識點學習培養(yǎng)良好的解題技能。文章開頭引言部分引出了所要寫的話題，中間內容則寫了高考數(shù)學中的恒成立問題的應用和解決高考數(shù)學中的恒成立問題對學生的要求，文章最后高考數(shù)學中的恒成立對學生的學習提出很高的要求。

關鍵詞：高考 數(shù)學 恒成立

高考數(shù)學中的恒成立問題包含的內容有二次函數(shù)和一次函數(shù)、有關的函數(shù)圖像和函數(shù)本身的性質，需要進行有關的換元，歸類、題型和圖像相結合、還包含由函數(shù)的思想方法，對提高學生的綜合解題能力很有幫助，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性和思維的靈活性。高三數(shù)學的恒成立問題主要有以下的幾種形式：三角函數(shù)、指數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)。恒成立問題涉及到的知識比如有將換元的思想引入到相關函數(shù)的圖像和性質等。可以通過以下幾種方法解決出現(xiàn)的恒成立問題。這些方法分別是：賦值型，一次函數(shù)型，二次函數(shù)型，變量分離型，數(shù)形結合型。面對高考數(shù)學中的恒成立問題的應用的出現(xiàn)，有必要進行相關的研究，為高考數(shù)學的復習工作提供相關的幫助。

一、高考數(shù)學中的恒成立問題的應用

（一）高考數(shù)學中的恒成立在基礎題中的應用

在高三數(shù)學中有這樣一個恒成立的問題：涵蓋了一次函數(shù)的知識點和高三數(shù)學知識點。變量X和Y在一個變化過程中，每一個確定的x值，都有唯一確定的y值與x對應，那么我們就說y是x的函數(shù)，x是自變量。

也有這樣一道題：“Amn表示高三數(shù)學恒成立問題，n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=Amn公式中表示從n開始由大到小連續(xù)m個自然數(shù)的連乘積”;“從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數(shù)，叫從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，無限制條件的排?！?/p>

還有：若是等差數(shù)列，首項，則使前n項和成立的最大自 然數(shù)n是（ ） （A）4005 （B）4006 （C）4007 （D）4008。

分不清充分條件和必要條件，分析如下：“‘有兩個條件A和B，假設A=B正確，那么B是A的充分條件，A是B的必要條件，;‘假設B=A正確，那么B是A的必要條件，A是B的充分條件，;‘假設B=A，那么B和A互為充要條件”。

夯實基礎是高三數(shù)學學習的第一關。高三數(shù)學恒成立的學習過程實際上就是對基本公式的運用，靈活使用概念原理，注意提高良好解題思路，提高分析和解決問題的能力，當具備了一定的知識能力之后，個人的解題細心度和堅強的毅力起著至關重要的作用。

（二）高考數(shù)學中的恒成立問題在綜合題中的應用

高考數(shù)學中的恒成立在綜合題中出現(xiàn)的概率也比較大，這就需要較高的解題技巧。高中數(shù)學中的恒成立問題，涉及的知識面廣，綜合性強。綜合題往往涵蓋了多個知識點，恒成立問題的解決需要多動腦筋，充分運用邏輯思維，解題要認真。如果哪個環(huán)節(jié)出了問題，整個解題結果就會功虧于潰。

我們來舉個例子：f（x）是負無窮大和正無窮大上的定義域，0=f（1），0到正無窮大是增函數(shù)，奇函數(shù)f（x）;θ在0到π/2的區(qū)間，函數(shù)sin2θ+m·cosθ-2m等于g（θ）。如果集合M等于g（θ）小于0，集合N等于m，問M和N的交集。

復合函數(shù)f（x）中有N，不知道如何進行解決，無法求出M和N的交集。當束手無策時，查看題目，f（x）在0到正無窮大是增函數(shù)，奇函數(shù)f（x），所以在負無窮大到0區(qū)間f（x）也是增函數(shù)。根據(jù)f（1）等于0知f（-1）等于0，畫圖可知，當f（x）小于0時可得0小于1或者x小于1。

∴N=m=g（θ）<-1或0<1，

∴M∩N={g（θ）<-1。如m·cosθ-2m+1+sin2θ小于0，相關變換得到2m-2cos2θ-m.cosθ+大于0結果是恒成立的。

在這個雙變量中不知道主元是誰，判斷得知是m。學生們習慣按照傳統(tǒng)的解題思路：使“cosθ=t，屬于0到1的區(qū)間，可看成二次函數(shù)t”，即：“（t-m/2）2+2m-2-m2/4=Φ（t）=t2-mt+2m-2，屬于0到1的區(qū)間?！边@是常見到的最大值和最小值問題，有三種情況需要討論，得到“m>4-2=M∩N”。

從m的角度進行思考就會想到用采用分離變量的方式：“t2-mt+2m-2大于0<=> m大于（2-t2）/（2-t）”，

使“‘（2-t2）/（2-t）等于h（t），那么‘t2+2/（t-2）+4≤4-2=>m>4-2”

“h（t）等于‘t2+2/（t-2）+4≤4-2=>m>4-2”。

該題包含的知識點有不等式、三角和函數(shù)。若換成解二次函數(shù)的話，有三個不等式組需要解決，運算過程繁雜，如果不細心，就會出錯，分離變量法有較高的對代數(shù)恒等式的要求，抽象思維的想象較高，在這個過程中不容有一點差錯，這樣才能取得運算結果的準確性。本題涉及主要數(shù)學思想方法有：

1.借助不同方式實現(xiàn)有關問題的解決

將不等式轉化為函數(shù)來解決：

閉區(qū)間不等式的恒成立往往在函數(shù)中多有出現(xiàn)，這是解題要注意的第一個方面;在求解m的范圍時，m被看做了一個常數(shù)，變換到二次函數(shù)中包含有t的變量，華麗變身是解題的第二個步驟。

2.圖形和函數(shù)相結合的方式

本題中有兩次用到該方法，一處是由f（x）<0得x<1或0<1，從而得g（θ）<-1或0<1;另一處是是求二次函數(shù)Φ（t）在區(qū)間[0，1]的最值。

該題所用到的解題技巧有：

a.函數(shù)最值的恒成立問題：若m>f（x）恒成立，且M=f（x）max，則m>M。

b.分離變量法。

c.配方法。不要小看這種方法，特別留意含有二次函數(shù)的配方題型。

d.不等式向二次分式的轉換實現(xiàn)恒等變形。

二、解決高考數(shù)學中的恒成立的問題對學生的要求

解題要想有清晰的思路，思想方法和技巧很重要，另外就是個人因素，這其中包括認真程度和良好的意志力，還有一點就是學習過程中形成的學習方法，個人因素往往因人而異。在做同一道題時，會出現(xiàn)不同的結果，有的學生能把題做出來，有的學生做不出來。學習方法的培養(yǎng)是一個人慢慢積累的過程，而學習意志的培養(yǎng)則是一個漫長的過程，這個過程的很大一部分因素取決于個人的價值取向和人生價值觀。當學生看到比較困難的題時就會感到渾身不舒服，束手無策，滿腦子一片空白，做題的意志力在不斷下降。具有超強意志力的人會抓住題目不放，平靜下心情，認真進行分析，尋求新的解題思路，即使結果不能令人滿意，但是在部分解題過程中還是有點解題思路的。

參考文獻：

[1]侯新蘭.探析高考數(shù)學中恒成立問題的解題策略[J].考試：高考數(shù)學版，2009（Z4）.

[2]曹澤紀.高中數(shù)學中的恒成立問題[J].學問，2009（2）.

（責編 金 東）