用幾何畫板探究指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

高圣潔

【摘要】通過人教A版教材高中數(shù)學必修一第37頁用幾何畫板畫出函數(shù)圖像y=bx2的啟發(fā)，本文借助幾何畫板這個教學軟件，以指數(shù)函數(shù)為例，引導學生快速作出指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a>0，a≠1）的圖像，并且在同一坐標系下作出多個指數(shù)函數(shù)的圖像，然后觀察指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a>0，a≠1）的圖像隨a的變化而發(fā)生怎樣的變化，比較各指數(shù)函數(shù)圖像的形狀和位置，從而得到指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a>0，a≠1）的性質(zhì)，然后再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來解決關于指數(shù)函數(shù)所涉及的問題.

【關鍵詞】幾何畫板；指數(shù)函數(shù)；指數(shù)函數(shù)圖像

指數(shù)函數(shù)是在學生系統(tǒng)學習了函數(shù)概念，基本掌握了函數(shù)的性質(zhì)的基礎上進行研究的，它是重要的基本初等函數(shù)之一.作為常見函數(shù)，它是函數(shù)概念及性質(zhì)的第一次應用，一方面它可以進一步深化學生對函數(shù)概念的理解與認識，使學生得到較系統(tǒng)的函數(shù)知識和研究函數(shù)的方法，另一方面也為今后進一步熟悉函數(shù)的性質(zhì)和作用，研究對數(shù)函數(shù)以及等比數(shù)列的性質(zhì)打下堅實的基礎，同時它在生活及生產(chǎn)實際中有著更廣泛的應用，所以指數(shù)函數(shù)應重點研究.然而，高中階段一提起函數(shù)，學生們就充滿了恐懼，再談及函數(shù)的性質(zhì)，更是感到深深的不安，尤其是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，同學們掌握的更差.事實上，追根溯源，還是對于指數(shù)冪的運算不熟悉，對于指數(shù)函數(shù)圖像形成的過程感覺模糊.而幾何畫板具有豐富的圖像功能，幾何畫板能迅速地畫出任何一個初等函數(shù)的圖像.因此，在研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)這一教學環(huán)節(jié)中，我們可以借助幾何畫板這個數(shù)學教學軟件，迅速、便捷地畫出指數(shù)函數(shù)的圖像.而學生由于親自動手操作，也從一個旁觀者和聽眾變成主動參與者，親身體驗了知識的產(chǎn)生，發(fā)生和發(fā)展過程，清晰地了解到知識的來龍去脈，并且在腦海中也形成了生動、形象的畫面，這些都有助于幫助他們領會和把握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而更好地學會指數(shù)函數(shù)以及它的性質(zhì).

一、用幾何畫板畫出指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a>0，a≠1）的圖像.

1.建立畫板文件

（1）新建一個畫板，選擇“文件”菜單中的“保存”命令，輸入文件名“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”，保存其文件；

（2）打開幾何畫板，選擇“繪圖”菜單中的“定義坐標系”命令，繪圖區(qū)出現(xiàn)帶網(wǎng)格的直角坐標系，選擇繪圖中菜單中的“隱藏網(wǎng)格”命令，將網(wǎng)格隱藏掉.

2.建立參數(shù)a的動態(tài)系統(tǒng)

（1）用點工具在y軸上繪制1個點A；

（2）同時選中點A和x軸，選擇“構造”菜單中的“平行線”命令，構造出過點A且與x軸平行的直線；

（3）用“點工具”在平行線上繪制一個點B，改其標簽名為a，選中平行線，選擇“顯示”菜單中的“隱藏平行線”命令，隱藏平行線；

（4）選中點A、a，選擇“構造”菜單中的“線段”命令，構造連接A、a兩點的線段；

（5）選中線段Aa，選擇“顯示”菜單中的“線型”命令，將線段的線型設置為粗線.保持線段的選中狀態(tài)，選擇“顯示”菜單中的“顏色”命令，將線段的顏色設置為紅色，隱藏點A；

（6）選中點a，選擇“度量”菜單中的“橫坐標”命令，度量a點的橫坐標，然后把其標簽改為a，如圖1所示.

3.建立并繪制函數(shù)圖像

（1）選擇“繪圖”菜單中的“繪制新函數(shù)”命令，打開新建函數(shù)對話框；

（2）單擊度量值“a=…”，在順次點擊對話框中的按鈕*，x，^，2，完成構造函數(shù)f（x）=ax，單擊“確定”關掉對話框，如圖2所示.

說明：拖動a點，可以看見函數(shù)的圖像隨a值的變化而產(chǎn)生相應的變化.

4.建立自變量與函數(shù)的對應關系

（1）用“點工具”在x軸上構造一點，度量出該點橫坐標的值，將坐標的標簽改為x；

（2）選擇“數(shù)據(jù)”菜單中的“計算”命令，打開“新建計算”對話框，單擊函數(shù)式f（x）=ax（a>0，a≠1），再單擊x橫坐標的值，計算自變量x的函數(shù)值f（x）；

（3）順次選中文本x，f（x），選擇“繪圖”菜單中的繪制（x，y）命令，繪制點（x，f（x）），將它與自變量x對應的點用虛線連接起來；

（4）選中點（x，f（x）），選擇“度量”菜單中的“坐標”命令，度量該點的坐標，如圖所示；

（5）同時選中點（x，f（x））和它的坐標，按住[shift]鍵，選擇“編輯”菜單中“合并文本到點”命令，將這個坐標動態(tài)地顯示到點（x，f（x））的位置，如圖3所示.

說明：拖動x軸上自變量對應的點，可以看見函數(shù)圖像上對應點的坐標在不停地變化，非常形象地反映了函數(shù)的動態(tài)對應關系.

例1 利用f（x）=12x的圖像，作出下列各函數(shù)的圖像.

（1）f（x+1）；（2）f（x-1）；（3）f（x）+1；（5）f（x）-1.

解 先畫出函數(shù)f（x）=12x的簡圖.

（1）把函數(shù)f（x）=12x的圖像向左平移一個單位，可得到函數(shù)f（x+1）的圖像；

（2）把函數(shù)f（x）=12x的圖像向右平移一個單位，可得到函數(shù)f（x-1）的圖像；

（3）把函數(shù)f（x）=12x的圖像向上平移一個單位，可得到函數(shù)f（x）+1的圖像；

（4）把函數(shù)f（x）=12x的圖像向左平移一個單位，可得到函數(shù)f（x）-1的圖像；如圖4.

二、利用幾何畫板探究指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a>0，a≠1）的性質(zhì).

1.在同一平面直角坐標系中作出指數(shù)函數(shù)f（x）=2x和g（x）=13x的圖像，如圖5.

三、結束語

指數(shù)函數(shù)是學生在學習了函數(shù)基本概念和性質(zhì)以后接觸到得第一個具體函數(shù)，所以在這部分的教學安排上，我更注意學生思維習慣的養(yǎng)成.通過研究幾個特殊的底數(shù)的指數(shù)函數(shù)得到一般指數(shù)函數(shù)的規(guī)律，這符合學生由特殊到一般的，由具體到抽象的學習認知規(guī)律.

另外，通過多媒體教學手段，用計算機作出底數(shù)a變換的圖像，讓學生更直觀、深刻的感受指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì).學生真思考，學生的真探究，才是保障教學目標得以實現(xiàn)的前提，在教學中，教師通過教學設計要以給學生充分的思維空間、推理運算空間和交流學習空間，努力創(chuàng)設一個“活動化的課堂”才可能真正喚起學生的生命主體意識，引領他們走上自主構建知識意義的發(fā)展路徑.

總之，用幾何畫板來研究函數(shù)，它所產(chǎn)生的作用是巨大的，他不但可以模擬知識發(fā)生的過程，更能讓學生自己探索出公式和定理，讓學生體驗了當數(shù)學家、發(fā)明家的滋味，這也真正實現(xiàn)了從“學數(shù)學”到“做數(shù)學”，再到“玩數(shù)學”，更能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，使數(shù)學課堂成為充滿探索性、趣味性和挑戰(zhàn)性的精彩世界.

特別注釋

河南省教育科學“十二五”規(guī)劃2015年度立項課題.

課題名稱：高中數(shù)學新課程中信息技術應用專欄的分析與研究

課題類別：一般課題

課題編號：[2015]-JKGHYB-0302

【參考文獻】

[1]羅永健.利用幾何畫板研究函數(shù)的性質(zhì)例談[J].基礎教育論壇，2011（6）.

[2]徐東.用“幾何畫板”探究實驗一次函數(shù)圖像與性質(zhì)[J]，數(shù)學學習與研究，2014（17）.