融會知識 明悉學情 貫通方法
——以“極坐標系”一節(jié)為例談深度備課

李凈

融會知識 明悉學情 貫通方法
——以“極坐標系”一節(jié)為例談深度備課

李凈

“備課”作為教學的前置環(huán)節(jié)，其深度對于課堂教學至關重要。高中數學教學備課要注重數學的“整體性”，學生的“可塑性”和教法的“互通性”。本文以“極坐標系”一節(jié)的備課過程為例，探討深度備課的具體策略和方法。

深度備課；教學設計；高中數學

如果說課堂是師生間思維相互碰撞，情感彼此交流的舞臺，那備課就是教師進行創(chuàng)作、反復彩排、不斷調試的過程。好的創(chuàng)作離不開對素材（學科知識）的研究，對觀眾（學生）的了解和對表現方式（教法）的琢磨。“備課”作為教學的前置環(huán)節(jié)，其深度對于課堂教學而言非常重要。那么如何才能在備課的過程中體現深度呢？筆者認為有以下三個基本原則。

一、舒經通絡知全貌——備出數學的“整體性”

數學具有整體性的特征。它不僅體現在數學學科知識之間的關聯性和系統化，更體現在數學核心概念所反映的數學思想方法的一致性上。因此，深度備課不僅僅局限于所教內容本身，還應包括其所在章節(jié)的系統知識框架，與所教知識相關的數學學科知識、相關數學史和數學發(fā)展的前沿動態(tài)，與其他學科相關聯的知識和應用范圍。所以，當教師備課時不僅僅局限于所教學科知識本身，而是以整體的觀點全局考慮問題，融會各方面相關知識形成系統時，才能更有效地培養(yǎng)學生的學科素養(yǎng)，為學生綜合能力的生成提供學科支持，實現真正的深度學習。

二、追根溯源明學情——備出學生的“可塑性”

學情是教學設計的珍貴源泉，它理應成為教師備課的首要參考。學生的認知規(guī)律如何，思維方式怎樣，情感需求有哪些，對已學過的相關知識的掌握情況如何……這些內容應當作為教師備課時進行教學預設的一個重要方面。通過傾聽學生的問題，觀察學生的課堂行為表現，檢測學生的學習效果，根據學生的“最近發(fā)展區(qū)”設定恰當的教學目標，安排適當的教學內容，選擇合適的教學方法，盡可能地達到目標讓學生明確，問題讓學生提出，過程讓學生參與，規(guī)律讓學生發(fā)現的要求。

三、教、學合一講方法——備出教法的“互通性”

在實際教學中，許多教師都會陷入短期學習效果和長期能力培養(yǎng)的矛盾。教學中應更側重知識，還是更關注方法？華東師范大學葉瀾教授認為：一門學科對學生發(fā)展的價值，除了學科領域的知識以外，從更深的層次看，還應該為學生認識世界和解決問題提供獨特的視角、思維的方法和特有的邏輯。傳統的“一個定義、三項注意、幾道例題、大量練習”式的教學或許可以“授之以魚”，卻無法“授之以漁”。殊不知“磨刀不誤砍柴工”，對學生數學學習能力和學習方法的培養(yǎng)可以促進學生舉一反三、融會貫通，甚至做到一通百通。從這個意義來說，教學教的不僅僅是知識，更是學習數學的方法。因此，備教法首先要備學法，學法與教法應當是互通的。為促進學生深度學習而教的教法才是最為科學有效的。

明確了深度備課的原則，那么在教師日常的備課中，該如何將這些原則加以應用呢？下面以“極坐標系”一課為例談談具體的應用策略。

數學家哈爾莫斯說：問題是數學的心臟。只有感受心臟的跳動，才能感受數學的活力。在我看來，問題不僅僅是學生學習的動力之源，更是教師教學和研究的命脈。而備課的過程事實上是教師以所教內容為載體，以學生的認知現狀為起點，以提高學生學力為目標，不斷提出問題并解決問題的過程?？梢哉f，備課的深度取決于教師提問的高度和解答問題厚度。那么“極坐標系”一課我們可以提出哪些問題，又該如何回答呢？

問題1：什么是極坐標系？它的知識體系是怎樣的？

單節(jié)知識只有放在學科知識的整體中才能更宏觀地了解它的來龍去脈，知曉脈絡方能形成體系。通過研讀教材，我們可以得出：極坐標系是以“距離”和“角度”對平面內的點進行定位的建系方式。本節(jié)源于蘇教版高中數學選修4-4的第一章。這一章包括三塊內容：（1）直角坐標系；（2）極坐標系；（3）球坐標系與柱坐標系（不作要求）。三塊內容屬于并列關系。其中“極坐標系”起著承上啟下的作用。它一方面是“平面解析幾何初步”和“圓錐曲線與方程”的拓展和延續(xù)，和“平面向量”“三角函數”等知識有著千絲萬縷的聯系；另一方面，它也是下一章學習“曲線的極坐標方程”的基礎。

問題2：為什么要學習極坐標系？

高二的學生已經具有了解析幾何等知識儲備，但是由于學生對平面直角坐標系已經有了較為深入的認識和學習依賴，很可能對突如其來的 “極坐標系”產生心理上的排斥，會產生“為什么要學習一種新的坐標系？”，“這樣建系有什么作用？”，“比起直角坐標系，極坐標系有什么優(yōu)點？”等一系列疑問，從而無法領悟到學習多種坐標系的必要性，更無法進行有意義的深度學習。

通過對教材的研讀和極坐標系相關資料的研究，我們可以看出極坐標系與其他坐標系（比如直角坐標系）一樣，也是數學中確定平面上點的位置的重要參照系統。是利用“方向”和“距離”來表示平面上點的位置，這在數學、物理、工程、航海、航空等許多領域上都有應用，十分貼近生活。對于數學中的運動問題來說，參照系的選擇對于運算的難易程度影響很大。直角坐標包含著到兩坐標軸的距離等信息，更適合解決函數問題和點的平移變換。極坐標則包含著極徑和極角等信息，在一些與長度、角度有關的旋轉問題或點的旋轉變換中更能體現出優(yōu)勢。

問題3：怎樣學習極坐標系？使用哪些方法？

學習方法的重要性往往勝于知識本身。與其他學科相比，數學這一學科具有很強的整體性，許多新知識就是在學生已有的知識基礎上形成和不斷發(fā)展起來的，這就需要我們建立知識間的聯系。而建立的方法可以利用兩個極其重要的思想方法：類比和化歸。

類比是利用知識間類型的相似性來研究問題的方法。事實上，學生在學習極坐標之前已經有數軸、平面直角坐標系、空間直角坐標系等多個知識的儲備。這些知識的研究內容和研究方法均是可以借鑒、利用的寶庫。比如我們研究數軸，要制定數軸的基本規(guī)則，諸如原點、正方向和單位長度；要知道如何用數軸上的點來表示實數；要能夠通過數軸來刻畫區(qū)間……我們研究平面直角坐標系，要確定建系的規(guī)則；知道如何用有序實數對來表示平面內的點，學會用方程來表示曲線，用不等式組來刻畫平面區(qū)域……同樣的，我們可以類比得到，我們研究極坐標系要制定出合乎要求的建系規(guī)則；能夠用極坐標表示平面內的點；可以用極坐標方程表示平面內的曲線……正如在學習了平面直角坐標系以后，我們很多的研究方法和結論都可以推廣到空間直角坐標系中去一樣，極坐標系的研究方法也是有共通性的。

所謂“化歸”可理解為轉化和歸結的意思。在數學方法論中所論及的化歸方法，是指數學中把待解決或未解決的問題，通過轉化過程，歸結到一類已經解決或者比較容易解決的問題中去，最終獲得原問題的解答的一種手段和方法。坐標系是運用代數方法解決幾何問題的橋梁。它的發(fā)明為解決幾何問題尋找了一種普遍有效的方法，并且把幾何問題轉化為代數問題，體現化歸的思想。第二節(jié)“極坐標系與直角坐標的互化”更是體現了將極坐標這一新知識轉化為直角坐標這一舊知識來解決問題的化歸策略。

備課不僅要 “備其然”（所教知識的表面內容），還要 “備其所以然”（所教知識的本質內容及產生原因），更要“備其何以所以然”（學生學習所教知識的方法）。通過融會知識，明悉學情，貫通方法，針對所教內容和學生學情進行深度備課，才能打造出真正的精品課堂。

G633.6

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1005-6009（2016）54-0030-02

李凈，南京市第九中學（南京，210018）教師，一級教師。