圓錐曲線切點(diǎn)弦中點(diǎn)的軌跡方程

■廣西恭城縣恭城中學(xué)　韋興洲

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圓錐曲線切點(diǎn)弦中點(diǎn)的軌跡方程

■廣西恭城縣恭城中學(xué)韋興洲

一、問(wèn)題探索

若自平面內(nèi)一點(diǎn)引圓錐曲線的兩條切線，則連接切點(diǎn)的線段稱(chēng)為切點(diǎn)弦.

設(shè)點(diǎn)M（x0，y0）為曲線Γ1：f（x，y）=0上的動(dòng)點(diǎn).

問(wèn)題1：若過(guò)點(diǎn)M可以作圓錐曲線Γ2的兩條切線，則點(diǎn)M的位置如何？

問(wèn)題2：若過(guò)點(diǎn)M可以作圓錐曲線Γ2的兩條切線，則切點(diǎn)弦中點(diǎn)的軌跡方程如何？

筆者通過(guò)對(duì)上述兩個(gè)問(wèn)題的探究，獲得公式化結(jié)論如下表：

曲線類(lèi)型　曲線方程　點(diǎn)M的位置切點(diǎn)弦所在直線的方程切點(diǎn)弦中點(diǎn)的軌跡方程橢圓（或圓）Ax2+Cy2=1 （A＞0，C＞0）　Ax20+Cy20＞1　Ax0x　+ Cy0y=1 fx Ax2+Cy2，　y Ax2+Cy2（=0（Ax2+Cy2＞1）雙曲線Ax2+Cy2=1 （AC＜0）Ax20+Cy20≠0 Ax20+Cy20＜｛1Ax0x　+ Cy0y=1 fx Ax2+Cy2，　y Ax2+Cy2（=0Ax2+Cy2≠0，Ax2+Cy2＜｛1（）拋物線y2=2px（p≠0）　y20＞2px0y0y=p（x+ x0）　fy2p-x，（）y=0（y2＜2px）拋物線x2=2py（p≠0）　x20＞2py0x0x=p（y+ y0）　f x，x2p-（）y=0（x2＜2py）

以雙曲線的情形為例，證明如下.

設(shè)過(guò)點(diǎn)M作雙曲線Ax2+Cy2=1（AC＜0）的兩條切線所得切點(diǎn)為G（x1，y1），H（x2，y2），根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則，方程Ax2+Cy2=1兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得Ax+Cyy′=0，從而故雙曲線在點(diǎn)G處的切線方程為，由于點(diǎn)G在雙曲線上，即代入切線方程并化簡(jiǎn)得Ax1x+Cy1y=1.又因?yàn)辄c(diǎn)M（x0，y0）在切線上，所以Ax1x0+ Cy1y0=1①.同理得Ax2x0+Cy2y0=1②.比較①②得切點(diǎn)弦所在直線的方程為Ax0x+Cy0y=1.

當(dāng)AC＜0時(shí)，直線Ax0x+Cy0y=1與雙曲線Ax2+Cy2=1有兩個(gè)交點(diǎn)方程組有兩組解方程有兩個(gè)相異實(shí)根?

又設(shè)切點(diǎn)弦的中點(diǎn)為N（x3，y3）.聯(lián)立Ax0x+Cy0y=1， Ax2+Cy2=1，得，可得即故④，代入③得計(jì)算得x0=代入④得結(jié)合點(diǎn)M（x0，y0）在曲線Γ1：f（x，y）=0上，可得點(diǎn)N在曲線上.又根據(jù)得

當(dāng)圓錐曲線為橢圓（或圓）和拋物線時(shí)，可類(lèi)似討論，不再贅述.

二、結(jié)論應(yīng)用

利用上述公式化結(jié)論，我們可重新求得文1中的軌跡1.

也可重新求得文1中的軌跡3、軌跡5和軌跡6，以及文2中的橢圓及其伴圓的性質(zhì)6，雙曲線及其伴圓的性質(zhì)6.感興趣的讀者可自行查閱.

我們還可以利用上述公式化結(jié)論研究2013年高考遼寧卷理（文）科數(shù)學(xué)第20題.

題目如圖1，拋物線C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p＞0），點(diǎn)M（x0，y0）在拋物線C2上，過(guò)M作C1的切線，切點(diǎn)為A、B（M為原點(diǎn)O時(shí)，A、B重合于O），，切線MA的斜率為

圖1

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB的中點(diǎn)N的軌跡方程.（A、B重合于O時(shí)，中點(diǎn)為O）.

參考文獻(xiàn)：

1.玉云化.橢圓、雙曲線與相關(guān)圓生成的軌跡方程［J］.數(shù)學(xué)通訊（下），2012（1）.

2.林風(fēng).圓錐曲線伴圓性質(zhì)的探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（南昌），2012（3）.F